La derivación de la métrica del espacio-tiempo con un punto de origen en 2+1 dimensión mediante el formalismo ADM

Question

En "la Gravedad Cuántica en 2+1 dimensiones" por S Carlip, Seg 3.1 (donde la métrica de un espacio-tiempo con una fuente en un punto es la derivada, utilizando el formalismo ADM), la ecuación 3.8 estados que (este es el impulso de la restricción para una métrica sobre una superficie constante),

$ \nabla_{j} \Pi^{ij} = 0 = g^{il}\partial_{k} \Pi^{k}_{l} - (1/2)g^{il}(\partial_{l}g_{jk})\Pi^{jk} $

Debe haber dos términos con Christoffel conexiones de la derivada covariante, sin embargo, esto sólo tiene una. Yo estoy haciendo otro término que me parece ser distinto de cero. Puede alguien por favor me diga cómo el otro término se desvanece ?

Answer 1

Recordemos que el impulso $\pi^{ij}$ es un tensor de densidad en 2-espacio, cf. por ejemplo, Ref. 2. En otras palabras, $$\frac{\pi^{ij}}{\sqrt{\det g}}$$ es simétrica (2,0) tensor. Por lo tanto la derivada covariante es

$$(\nabla_{\ell}\pi)^{ij}~=~ \partial_{\ell} \pi^{ij} + \Gamma^i_{\ell k} \pi^{kj} + \pi^{ik}\Gamma^j_{\ell k} -\pi^{ij} \partial_{\ell}\ln\sqrt{\det g}.$$

La contracción se convierte en

$$(\nabla_j\pi)^{ij}~=~ \partial_j \pi^{ij} + \Gamma^i_{jk} \pi^{kj} + \pi^{ik}\underbrace{\left(\Gamma^j_{jk} - \partial_k\ln\sqrt{\det g}\right)}_{=0}$$ $$~=~\partial_j \pi^{ij} + g^{i\ell} \left(\partial_{j} g_{\ell k}-\frac{1}{2}\partial_{\ell} g_{jk}\right)\pi^{kj} $$ $$~=~g^{i\ell} \left( \partial_{j} \left(g_{\ell k}\pi^{kj}\right) -\frac{1}{2}\pi^{kj}\partial_{\ell} g_{jk}\right) \etiqueta{3.8} $$ de acuerdo con la eq. (3.8) en la Ref. 1.

Referencias:

1. S. Carlip, la Gravedad Cuántica en 2+1 Dimensiones, Cambridge University Press, 1998, Sección 3.1, p. 39.

2. C. W. Misner, K. S. Thorne, y J. A. Wheeler, la Gravitación, De 1973, Sección 21.7, p. 521.