J. Van de Molino en aquí http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166864107000193 muestra que el espacio de $\omega_1$ con su orden de topología satisface la siguiente condición: para cualquier barrio de asignación de $\{O_{\alpha}: \alpha < \omega_1\}$ del espacio $\omega_1$, existe un subconjunto discreto $A$ $\omega_1$ tal que $\bigcup_{\alpha \in A} O_{\alpha} = \omega_1$.
La prueba de la siguiente manera: Tome cualquier barrio de asignación de $\{O_{\alpha}: \alpha < \omega_1\}$ del espacio $\omega_1$. Para no aislados punto de $\alpha \in \omega_1$, $f(\alpha) < \alpha$ tal que $(f(\alpha), \alpha] \subset O_{\alpha}$. Presionando hacia abajo lema, podemos encontrar una infinidad de $A\subset \omega_1$ $\beta <\omega_1$ tal que $f(\alpha) = \beta$ cualquier $\alpha \in A$.
Nota: Un barrio de la asignación en un espacio de $X$ es una familia $\{O_x: x \in X\}$ tal que $x \in O_x \in \tau(X)$ cualquier $x \in X$.
No entiendo esta prueba. ¿Por qué es $\bigcup_{\alpha \in A} O_{\alpha} = \omega_1$? y por qué es $A$ discreto? Por favor me ayudan a entender esta prueba.
