Prueba de la ecuación por el principio de ordenación de pozos

Question

Tengo una pregunta sobre la asignación

Demuestre por el principio de ordenación de pozos o por inducción que para todos los enteros no negativos $n$ : $$\sum_{k=0}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.$$

Soy capaz de resolver esta cuestión utilizando la Inducción básica, pero no soy capaz de averiguar cómo hacerlo utilizando el Principio de Ordenación de Pozos.

Cualquier solución o pista sería de gran ayuda. Gracias por adelantado

Answer 1

Supongamos que la afirmación no es cierta.

Entonces el conjunto $A=\left\{ n\in\mathbb{N}\mid\sum_{i=0}^{n}i^{3}\neq\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^{2}\right\} $ no está vacío.

Desde $\mathbb{N}$ es un conjunto bien ordenado $A$ tiene un elemento mínimo elemento $m$ .

Esto significa que $\sum_{i=0}^{n}i^{3}=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^{2}$ es cierto para $n<m$ y no es cierto para $n=m$ .

De esto se puede deducir una contradicción.

(Comenzar con $\sum_{i=0}^{m-1}i^{3}=\left(\frac{\left(m-1\right)m}{2}\right)^{2}$ y probar en base a eso $\sum_{i=0}^{m}i^{3}=\sum_{i=0}^{m-1}i^{3}+m^{3}=\left(\frac{m\left(m+1\right)}{2}\right)^{2}$ )

La conclusión es entonces que $A=\emptyset$ que es exactamente la afirmación que hay que demostrar.

Answer 2

Supongamos que hay contraejemplos. Tomemos un contraejemplo mínimo $n_0$ ...

Answer 3

Para $n=1$ el lado izquierdo es igual a $1$ y el lado derecho también es igual a $1$ por lo que la igualdad se cumple. Supongamos que la igualdad $(1)$ es cierto para algunos $n\geq1$ entonces para $n+1$ obtenemos $$\sum_{i=1}^{n+1} i^3 =\sum_{i=1}^{n} i^3 +(n+1)^3 = \frac{n^2 (n+1)^2 }{4} +(n+1)^3 =(n+1)^2\left(\frac{1}{4} n^2 +n+1\right) =(n+1)^2 \left(\frac{1}{2} n +1\right)^2 =\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2 .\fbox{}$$