Generación finita $\mathbb{C}$ -Álgebra, incontables $\lambda \in \mathbb{C}$ .

Question

Dejemos que $A$ sea una entidad finitamente generada $\mathbb{C}$ -y dejemos que $a \in A$ sea un elemento no algebraico. Mi pregunta es, ¿hay incontables $\lambda \in \mathbb{C}$ tal que el elemento $a - \lambda$ no es un divisor cero pero, al mismo tiempo, no es invertible?

Answer 1

Hay dos formas posibles de interpretar su pregunta, por lo que veo. En primer lugar, interpretaré algebraico para significar algebraico sobre $\mathbf{Q}$ . Entonces, la respuesta a su pregunta es: tal vez.

Aquí hay dos ejemplos de $A$ y $a$ para lo cual la respuesta es no: Si $A=\mathbf{C}$ y $a=\pi$ entonces evidentemente $a-\lambda$ es invertible para todo $\lambda \neq \pi$ por lo que la condición no se cumple. Del mismo modo, si $A=\mathbf{C}[x]/(x^2)$ y $a=x$ entonces $a-\lambda$ es invertible para todo $\lambda \neq 0$ Así que, de nuevo, la condición no se cumple. Evidentemente, algo similar ocurre cada vez que tu álgebra contiene un nilpotente no trivial.

He aquí un ejemplo para el que la respuesta es afirmativa: Si $A=\mathbf{C}[x]$ es el anillo de polinomios en una variable y $a=x$ entonces $a-\lambda$ no es invertible ni divisor de cero para cualquier $\lambda \in \mathbf{C}$ .

Hay una segunda interpretación para su pregunta (relacionada con el Nullstellensatz) como sigue: suponga que por algebraico quieres decir que satisface una ecuación polinómica con coeficientes en $\mathbf{C}$ (obviamente esta condición será más interesante cuando $A$ no es necesariamente conmutativo). Entonces la respuesta a tu pregunta es sí, y con algo más de generalidad. Obsérvese que un álgebra finitamente generada es de dimensión a lo sumo contable.

Supongamos que $A$ es un asociativo (pero no necesariamente conmutativo) $\mathbf{C}$ -de dimensión contable sobre $\mathbf{C}$ y $a \in A$ . Si el conjunto de números complejos $\lambda$ con $a-\lambda$ invertible es incontable, entonces el conjunto de elementos $(a-\lambda)^{-1} \in A$ debe ser linealmente dependiente, por lo que $a$ es algebraico sobre $\mathbf{C}$ . De ello se desprende que para los no algebraicos $a \in A$ el conjunto de los números complejos $\lambda$ para que $a-\lambda$ no es invertible es incontable.

Ahora para los divisores de cero: para cualquier $a \in A$ y $\lambda \in \mathbf{C}$ si hay un número distinto de cero $b \in A$ con $(a-\lambda)b=0$ entonces el $\lambda$ -para la multiplicación a la izquierda por $a$ es distinto de cero. Se deduce que hay a lo sumo un número contable de $\lambda$ de tal manera que $a-\lambda$ es un divisor cero a la izquierda; por simetría hay a lo sumo un número contable de $\lambda$ de tal manera que $a-\lambda$ es un divisor cero.