Prueba $\sum \limits_{i=1}^n i^2 \in \Theta (n^3)$

Question

Estoy preparando un examen, y uno de los problemas de repaso es ordenar las funciones por orden de crecimiento, y este era el único sumatorio que había. Sé que

$$\sum \limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},$$

Pero, ¿y si no conociera la forma cerrada? ¿Cómo podría entonces demostrar

$$\sum \limits_{i=1}^n i^2 \in \Theta (n^3).$$

Answer 1

Existe un truco para calcular fácilmente el crecimiento de dicha suma en primer orden. En efecto, tenemos :

$$\frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(\frac{i}{n}\right)^2,$$

que es una suma de Riemann para la función $x \to x^2$ en $[0,1]$ . De ahí que..:

$$\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^n i^2 = \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}.$$

Esto no sólo responde a tu problema, sino que también te da un equivalente asintótico de la serie.