Pregunta en la prueba de que $|G| = pqr$ no es simple

Question

Suponga $|G| = pqr$ donde $p,q,r$ son primos con $p < q < r$. A continuación, $G$ no es sencillo.

Tengo un problema de comprensión de la prueba (ver por ejemplo aquí). En la prueba se supone que $n_p,n_q,n_r > 1$ (número de cada una de las $p,q,r$-subgrupos de Sylow, respectivamente) y, a continuación, por Sylow tenemos $$n_r | pq \qquad \text{and} \qquad n_r = 1 + kr, k\in \mathbb{N}_0$$ Now one deduces that $n_r = pq$, lo que yo no entiendo.

Answer 1

Desde $n_r$ no $1$,$k>0$, lo que implica $n_r=1+kr > r > p$$q$, por lo que la única posible divisor de $pq$$pq$.