$AB-BA=I$ no tener soluciones

Question

La pregunta es de Artin del Álgebra. Si $A$ $B$ son dos matrices cuadradas con real entradas, muestran que $AB-BA=I$ no tiene soluciones. No tengo idea sobre cómo afrontar esta cuestión. Traté de bloquear la multiplicación, pero no parece funcionar.

Answer 1

Vamos a un $n\times n$ matriz. Tomar rastro de ambos lados $$\operatorname{trace}(AB-BA)= \operatorname{trace}(I)\Rightarrow \operatorname{trace}(AB)- \operatorname{trace}(BA) =n\Rightarrow0=n$$

Answer 2

Como usted debería haber sabido por ahora, para la real de las matrices de la ecuación, $AB-BA=I$ no tiene solución, ya que el lado izquierdo tiene cero de seguimiento, pero la CARTA no es traceless. La misma conclusión vale para matrices complejas. Para otros campos, un debate en profundidad se puede encontrar en las respuestas a una pregunta relacionada. En particular, se ha demostrado que una matriz cuadrada a $M$ es un colector (es decir, $M=AB-BA$ para algunas de las matrices cuadradas $A$$B$) si y sólo si $M$ es traceless:

A. A. Albert y Benjamín Muckenhoupt (1957), "En las matrices de traza de ceros". Michigan Matemáticas. J., 4(1):1-3.

De ello se desprende que $AB-BA=I_n$ tiene una solución si y sólo si $I_n$ es traceless sobre el campo subyacente.