La Maximización De Las Ganancias - Tirada De Dados Estrategia

Question

Vamos a considerar un simple juego de dados. Dos de la feria de 6 caras de los dados son lanzados. Deje $X$ es la suma de los dos dados. Si $X = 7$, entonces el juego termina y usted puede ganar nada (ganancias = 0). Si $X \neq 7$, entonces usted tiene la opción de detener el juego y recibiendo $X$ (lo que sale en tu última tirada) o iniciar el proceso de nuevo.

Ahora considere la posibilidad de esta estrategia para jugar: elige un número $i$ donde $2 \leq i \leq 12$, y dejar de jugar la primera vez que un valor mayor o igual a $i$ es laminados (o hasta que se vio obligado a dejar como resultado de hacer rodar unos 7). Definir $Y_i = $ ganancias cuando se utiliza esta estrategia con el valor escogido $i$. Estamos interesados en el valor de $i$ que maximiza la espera ganancias $\mathbb{E}[Y_i]$ sobre el todas las opciones posibles de $i$. Para hacer corta una larga historia, resulta que el valor de $i$ que maximiza la espera ganancias $\mathbb{E}[Y_i]$ para el juego es $i = 8.$

Para este problema, lo que realmente quiero es que para calcular explícitamente la espera ganancias $\mathbb{E}[Y_i]$ $i = 5, 6, 8$ $9$ a mostrar por qué la espera que las ganancias se maximizan cuando el $i = 8$. Usted no necesita considerar los casos en que $i = 2, 3, 4, 10, 11$ o $12$.

Intento: Trató De Expresar

$\mathbb{E}[Y_i \mid X = 7] = \text{-Winnings}$

$\mathbb{E}[Y_i \mid X < i, X \neq 7] = X + \mathbb{E}[Y_i]$

$\mathbb{E}[Y_i \mid X \geq i, X \neq 7] = X$

$\mathbb{E}[Y_i \mid X = 7] = -(\mathbb{E}[Y_i | X < i, X \neq 7] + \mathbb{E}[Y_i | X \geq i, X \neq 7])$

Pero no importa lo que haga, estoy recibiendo una respuesta incorrecta como $8$ debe ser el máximo, pero no... por Favor ayuda!

Answer 1

Deje $p(n)$ la probabilidad de obtener una suma de $n$ en un solo rollo. Entonces el valor esperado $e_i$ de las ganancias, mientras que el uso de la estrategia que se detiene sólo cuando llegamos a una suma de $i$ o más es $$ e_i = \sum_{j=i,j \neq 7}^{12} p(j)\cdot j + \left(1-\frac{1}{6}-\sum_{j=i,j\neq 7}^{12} p(j) \right)e_i $$ La solución para $e_i$, nos encontramos con $$e_2 = 35/6$$ $$e_3 = 208/35$$ $$e_4 = 202/33$$ $$e_5 = 19/3$$ $$e_6 = 85/13$$ $$e_7 = 20/3$$ $$e_8 = 20/3$$ $$e_9= 25/4$$ $$e_{10}=16/3$$ $$e_{11}=34/9$$ $$e_{12}=12/7$$ por lo que el máximo se produce en $i=8$, que es el mismo que $i=7$.

Aquí está una pitón de simulación para mayor verificación.

importación de matemáticas
importación de azar

juegos = 10000000

strat= 2 # parada en strat o más
tots = 0

for i in range(juegos):
hecho=0
mientras (=strat):
hecho=1
 ganador =0
 si (suma!=7):
ganador=suma

 tots = niños+de ganar

 if (i % 1000==0) y i>0:
 print i," ",tots*1./yo

impresión de tots*1./juegos

Usted puede probar: la salida está de acuerdo con la posición exacta de los valores calculados anteriormente con una muy alta precisión.

Answer 2

Como dije en mis comentarios, no creo que el problema de la declaración es completa, porque no está claro cuáles son sus opciones si sacas algo de otro de siete en la primera tirada. ¿Qué significaría para tomar el número que obtuviste en el último rollo?

Salir de este problema de lado por el momento, veamos lo que sucede si usted opta por dejar al rollo $9$ o mejor. El juego continúa hasta que rodar uno de los números de $7,9,10,11,12.$ En el primer caso, usted gana nada. En el segundo caso, usted gana el valor esperado del lanzamiento anterior. Ahora, el lanzamiento anterior debe haber sido uno de $2,3,4,5,6,8,$, por lo que espera ganancias en este caso se $E(X \mid X \in \{2,3,4,5,6,8\}.$ peso este por la probabilidad de que el segundo caso es el que se produjo, es decir, $P(X \ne 7 \mid X \in \{7, 9, 10, 11, 12\}).$

Similar razonamiento se aplica si usted elige $8,10,11,\text{ or }12$ como su objetivo, por supuesto.

Esto es tonto. Su decisión debe basarse en el lanzamiento anterior, no es la actual.