Antes de que el resto de esta respuesta, debo decir que prácticamente no hay manera de demostrar que un problema es difícil, excepto, quizá, mostrando que implica o se reduce a algún otro problema que tiene la gente considera (por una razón u otra) de disco duro. Ramanujan, presumiblemente, pensaba que esto era duro porque intentó (y falló) para mostrar que era multiplicativo, y muchas otras personas que, presumiblemente, pensaba que esto era difícil, porque Ramanujan intentado y han fracasado.
Para el contexto, es el año de 1916. Esto es cuando Ramanujan presentó su ponencia "Sobre Ciertas Funciones Aritméticas" a la Sociedad Filosófica de Cambridge y afirmó que empíricamente se cree que $\tau(\cdot)$ fue multiplicativo.
El estudio de la multiplicación de las funciones no era nueva. Pero las funciones que pasó a ser interesante aritmética de las funciones y multiplicativity aparece con frecuencia en la escuela primaria de la teoría de números. Funciones no fueron estudiados simplemente porque eran multiplicativo (aunque esto se podría más adelante). De hecho, a partir de la lectura de Ramanujan del papel (y Hardy y Mordell los papeles de alrededor de la misma época), parece que el término "multiplicativo" ni siquiera había sido introducida todavía. [No sé cuando ese término fue introducido].
Así, no hay ninguna consideración sistemática de mostrar funciones multiplicativas en el tiempo. Simples declaraciones de multiplicativity para funciones elementales eran considerados la pena destacar --- por ejemplo, Glaisher demostrado que muchas funciones se multiplicativo en "La Aritmética de las Funciones de $P(m)$, $Q(m)$, $\Omega(m)$ en la Revista Trimestral de Matemáticas, y esto fue considerado publicación digna (aunque el estándar de lo que fue la publicación digno era muy diferente en el tiempo, y Glaisher se desempeñaba como editor de la revista, así que quizás su decisión era lo que importaba).
En prácticamente todos los estudiados anteriormente multiplicativo funciones aritméticas, la propiedad multiplicativa se estableció esencialmente por la combinatoria de las herramientas. Las funciones elementales se prestan a la que muy bien. Para ello, muchas de las herramientas que Ramanujan utilizado para el estudio de $\tau(n)$ fueron combinatoria (o muy cerca de combinatoria).
Podemos frase preguntas de multiplicativity en términos de Dirichlet de la serie. Estos fueron sigue aumentando en la prominencia en el tiempo. Necesitamos más contexto. Dirichlet demostró su teorema de los números primos en progresiones aritméticas en 1837, la participación de Dirichlet $L$-funciones. Riemann, memorias aparecieron en la década de 1860, inspirador de una mayor interacción entre el complejo de análisis y funciones similares a $\zeta(s)$. Hadamard y de la Vallée-Poussin manejado algunas sutiles detalles técnicos de Riemann, de análisis y, finalmente demostró el teorema de los números primos en 1896. Esto es para decir que, en 1916, de la serie de Dirichlet y multiplicativos funciones no son algo ampliamente comprendido y dominado.
En su papel, Ramanujan se incluye una declaración de ebullición abajo a probar un producto de Euler para los asociados de la serie de Dirichlet $\sum \tau(n) n^{-s}$. Pero el producto es diferente al de otros más simples estudiados, en que es un grado 2 de producto.
La función zeta tiene una representación
$$ \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1 - \frac{1}{p^{s}}},$$
que es el más simple de Euler producto. Esto refleja tanto la única factorización y el hecho de que la constante de la función $1$ es multiplicativo.
El multiplicativity de Dirichlet personajes se corresponde con el producto de Euler
$$ \sum_{n \geq 1} \frac{\chi(n)}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1 - \frac{\chi(p)}{p^{s}}}.$$
Quizá la más simple de grado 2 de Euler producto proviene de la función de divisor $d(n)$, cuya Dirichlet serie de factores como
$$ \sum_{n \geq 1} \frac{d(n)}{n^s} = \prod_p \left(\frac{1}{1 - \frac{1}{p^{s}}}\right)^2 = \zeta(s)^2,$$
pero esto es ciertamente bastante simple.
La propuesta de Euler producto (y por lo tanto la propuesta de estructura de la multiplicativity) por $\tau(n)$ fue
$$ \sum_{n \geq 1} \frac{\tau(n)}{n^s} = \prod_p \frac{1}{(1 - \frac{\tau(p)}{p^s} + \frac{p^{11}}{p^{2s}})}.$$
Cada factor individual en el producto de Euler es un polinomio de grado 2 en $p^{-s}$.
En el nivel de multiplicativity, esto corresponde al hecho de que $\tau(\cdot)$ no es completamente multiplicativa (como opuesto a $1$ o $\chi(\cdot)$). Y a diferencia de funciones como $d(\cdot)$, no parece que $\tau(\cdot)$, está construido de más simple de multiplicación de funciones. Para referencia, una clásica forma de mostrar que la $d(\cdot)$ es multiplicativo, es para mostrar que la convolución de funciones multiplicativas es multiplicativo y, a continuación, mostrar que $d(n) = 1 * 1(n)$ (esto es equivalente, por supuesto, a la identidad entre el de la serie de Dirichlet $\sum d(n) n^{-s} = \zeta^2(s)$).
Así, la estructura de la multiplicativity de $\tau(\cdot)$ es un poco diferente a los anteriormente estudiados multiplicativo de funciones, y se tomó una nueva idea. En definitiva, es en este contexto en el que yo diría que demostrar que $\tau(\cdot)$ es multiplicativo es duro.
Pero en realidad, no es tan difícil. Menos de un año después de Ramanujan del papel apareció, Mordell mostró que $\tau(\cdot)$ fue en efecto multiplicativo en su papel "En el Señor Ramanujan Empírica del Expansiones de Modular las Funciones." La idea es nueva, pero simple, y la prueba es esencialmente hecho en las 3 primeras páginas del artículo.
Pero la idea no era nueva, que es la parte más difícil. Es interesante a este lugar en un contexto así. Al final de su artículo, Mordell notas que demostrar la correspondiente Euler productos para modular las funciones que son modulares en subgrupos de $\mathrm{SL}(2, \mathbb{Z})$ son más difíciles, y, en particular, "parece que casi no merece la pena entrar en detalles." Pero más tarde Hecke gustaría entrar en estos detalles y el estudio de lo que ahora llamamos los operadores de Hecke (que básicamente estandarizar Mordell del enfoque), y muestran que existen bases de las formas modulares que son simultáneas funciones propias de todos los operadores de Hecke, que a su vez implica que son multiplicativo y tiene un grado $2$ Euler producto como $\tau(\cdot)$. Y esto a su vez ha sido generalizado a las formas modulares en $\mathrm{SL}(3, \mathbb{Z})$, y, de hecho,$\mathrm{SL}(n, \mathbb{Z})$. Y así sucesivamente.
En retrospectiva, el multiplicativity de $\tau(\cdot)$ es el ejemplo más sencillo de multiplicativity en una gran familia de modular las funciones.
