Búsqueda de relaciones entre los ángulos a, b y c al $\sin a - \sin b - \sin c = 0$

Question

mientras yo estaba haciendo algunos cálculos, me encontré con la condición que se $$ \sin a - \sin b - \sin c = 0$$ donde $0 < b, c < a < \dfrac{\pi}{2}$. Hay una manera de encontrar una relación entre los ángulos sin necesidad de utilizar las funciones trigonométricas de arriba? No he sido capaz de encontrar una solución específica por lo que cualquier ayuda es muy apreciada. Sin embargo, si es posible, me gustaría evitar aproximaciones, como por la expansión de Taylor de la anterior.

Mi(sin éxito) de los enfoques

Este es incluido por el bien de potencial en la elaboración de la pregunta y simplemente muestro mi proceso de pensamiento.

1. Hallar el área de un círculo unitario.

Como $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$, pensé que podría de alguna manera se correlaciona con el área de un rectángulo en el círculo unidad(el cual es dado por $\sin \cos \theta$). Donde, si $x = \dfrac{a}{2}, y = \dfrac{b}{2}, z = \dfrac{c}{2}$, e $\cos x = c_0, \sin x = s_0$ y así sucesivamente, $$ c_0s_0 -c_1s_1 - c_2s_2 = 0$$ sin embargo, yo no podía entender cómo proceder a partir de aquí.

2. Tratando de asociarlo con la fórmula de Euler

Traté de transformación de todos los pecados a las identidades más complejas. Como puede resultar evidente, que no salió especialmente bien debido al hecho de que la adición de funciones exponenciales no es aconsejable actuar(por favor, corrígeme si me equivoco).

3. He intentado asociar a las ondas en la física.

En particular, he intentado asociar a la triple hendidura patrón de interferencia cuando las ondas interfieren destructivamente. Sin embargo, como no podía encontrar una fórmula para que eso no era una aproximación, y como yo no podía pensar en mi propia, se me cayó esta idea.

Answer 1

Como regla general, las relaciones que involucran funciones trigonométricas se puede volver a escribir sólo en una forma que implica las funciones trigonométricas. Su relación es muy simple, por lo que parece poco probable que cualquier simple, o nontrigonometric, equivalente existe.

En la escuela, estamos acostumbrados a ver ecuaciones trigonométricas que tienen soluciones. Pero estas han sido cuidadosamente construido para ese fin, con fines educativos. En general, ecuaciones trigonométricas no tienen soluciones simples, y esto se aplica tanto más cuanto mayor sea el número de variables que intervienen (3 en el presente caso).

Answer 2

Si dibujamos un vector (o número complejo) croquis en el que $\sin \alpha = \sin \beta + \sin \gamma $ de la siguiente manera

podemos establecer interesantes relaciones de consecuencia.

Éste es dada por la longitud del segmento de $AH_B$, lo que lee $$ \matriz{ \cos \beta \cos \alpha = 2\sin \left( {\left( {\alpha \beta } \right)/2} \right)\cos \left( {\pi /2 - \left( {\alpha + \beta } \right)/2} \right) = \hfill \cr = 2\sin \left( {\left( {\alpha \beta } \right)/2} \right)\sin \left( {\left( {\alpha + \beta } \right)/2} \right) \hfill \cr} $$ pero es obvio.

Otro se refiere a la longitud del segmento de $BH_B$ $$ \sin \gamma = 2\sin \left( {\left( {\alpha \beta } \right)/2} \right)\cos \left( {\left( {\alpha + \beta } \right)/2} \right) $$

Podemos continuar y se derivan de las relaciones, y manipular de diversas maneras.

Sin embargo no parece que podemos llegar a algo más sencillo, o más concisa, de la partida.