Una pregunta sobre la convergencia de la serie

Question

Supongamos $(z_i)$ es una secuencia de números complejos tales que $|z_i|\to 0$ estrictamente decreciente. Si $(a_i)$ es una secuencia de números complejos que tiene la propiedad de que para cualquier $n\in\mathbb{N}$

$$ \sum_{i}a_iz_i^{n}=0 $$ ¿esto implica que $a_i=0$ cualquier $i$?

Edit: Para el "finito dimensionales" caso, cuando tenemos $n$ diferentes $(z_i)$ , $(a_i)$ debe $0$. Esto equivale a la solución de un sistema homogéneo de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas, que sólo tiene la solución trivial en el caso de los distintos $(z_i)$. Estoy realmente curioso lo que sucede en el caso de infinitas dimensiones. Mi intuición me dice que el mismo debe ser cierto, pero no tengo una prueba para ella.

Edit 2: Muy interesante, mirar fuera de que esta cuestión se originó, el hecho de que todos los $a_i=0$ al $(a_i)\in l_1$ "se espera". Tenía la esperanza de conseguir un contraejemplo de lo contrario. Sin embargo, si no trivial de la secuencia de $a_i$ existe (al menos para algunas de las secuencias de $z_i$), iba a "esperar" para ser capaz de elegir en $l_2$. Mirando Davide y Julien respuestas a continuación, parece $(a_i)\in l_1$ es un presupuesto básico en su argumento.

Answer 1

Bajo el supuesto de que $\sum_{i=0}^\infty |a_i| < \infty$, se puede utilizar el poder de la serie. Esta suposición puede ser debilitada: es suficiente para suponer que existe $n \in \mathbb{N}$ tal que $(a_i z_i^n) \in \ell^1$ (ya que podemos trabajar con $a'_i = a_i z_i^n$).

Para $|\lambda| < |z_0|^{-1}$, definir $$ f(\lambda) = \sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{1 - \lambda z_i} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{i=0}^\infty (\lambda z_i)^na_i =0. $$ Si $k = \min\{i \in \mathbb{N} \mid a_i \neq 0\}$ existe, $f(\lambda) \sim \dfrac{a_k}{1-\lambda z_k}$ al $\lambda \to z_k^{-1}$, lo cual es absurdo.

Answer 2

Es una respuesta parcial a @Tomás comentario que preguntar qué ocurre si asumimos la secuencia de $\{a_j\}$$\ell^1$, y sería demasiado largo para un comentario.

Yo interpreto la hipótesis de $\sum_{j=0}^{+\infty}a_jz_j^n=0$ todos los $n$ como "la secuencia de sumas parciales converge y su límite es $0$". En particular, ello implica que el $\{a_j\}$ es convergente a $0$, por lo tanto $\{|a_j|\}$ es en particular un almacén de secuencia, dicen por $M$. Se demuestra por inducción que $a_j=0$ todos los $j$. En primer lugar, tenemos para todos los enteros $p$ que $$|a_0z_0^p|\leqslant\sum_{j\geqslant 1}|a_j||z_j|^p$$ así $$|a_0|\leqslant \sum_{j\geqslant 1}|a_j|\left(\frac{|z_j|}{|z_0|}\right)^p.$$ Deje $b_{j,p}:=|a_j|\left(\frac{|z_j|}{|z_0|}\right)^p$. Tenemos $|b_{j,p}|\leqslant |a_j|\left(\frac{|z_j|}{|z_0|}\right)^p$, y como $\{a_j\}\in\ell^1$, se puede concluir, por el teorema de convergencia monótona que $a_0=0$.

Supongamos ahora que $a_0=\dots=a_n=0$. Entonces $$|a_{n+1}|\leqslant \sum_{j\geqslant n+2}|a_j|\left(\frac{|z_j|}{|z_{n+1}|}\right)^p,$$ y una que otra aplicación de la monotonía teorema de convergencia de los rendimientos de $a_{n+1}=0$.

Answer 3

Supongamos que la afirmación no es verdadera, y deje $N$ ser el menor índice tal que $a_N \neq 0$. A continuación, $-a_N z_N^n= \sum_{i > N} a_i z_i^n \neq 0$ todos los $n$. Entonces $0 < |a_N| \leq |\sum_{i \geq N} a_i \frac{z_i^n}{z_N^n}| \leq \sum_{i > N}|a_i|(|z_i|/|z_N|)^n$. Tomando $n \to \infty$ en este desigualdad estricta daría $0 < 0$, una contradicción.