[Nota: yo uso el unitaria FT $\mathcal{F}u(\xi) = \sqrt{2\pi}^{-n/2} \int_{\mathbb{R}^n} u(x)e^{-ix\xi} dx$. También mi respuesta será de girar 90 grados en comparación a su pregunta y considerar la posibilidad de cortes horizontales, no verticales, simplemente porque no introducir más $i$'s y $(-1)$'s que el absolutamente necesario.]
La respuesta a tu primera pregunta es "no". Wlog se puede asumir que el sector está preguntando acerca de la rebanada a cero. Fácil contraejemplo sería $f(z) = \frac{1}{z}$. Su transformada de Fourier es el signo de la función, que no se extiende meromorphically para el plano complejo porque es localmente constante.
Si usted no quiere tomar una rebanada a través de uno de los polos, tome $f(z) = \frac{1}{1+z^2}$. Sus PIES se $\sqrt{\tfrac{\pi}{2}} e^{-|x|}$ que no se extiende debido a la no-differentialibity en cero.
No es cierto incluso si usted eliminar todos los polos y considerar sólo totalidad de las funciones. La transformada de Fourier de cualquier $C^\infty$-función con soporte compacto $\phi$ le dará un contraejemplo. Por el Paley-Wiener teorema $\mathcal{F}\phi$ se extiende a toda una función de $F$ que decae rápidamente a lo largo de cualquier segmento horizontal, es decir, $$F(\zeta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-ix\zeta}dx$$
Pero ahora los PIES de todos los sectores a $F_b := a\mapsto F(a+ib)$ son funciones con soporte compacto, de modo que ninguno de ellos se extienden a una holomorphic función.
Y este comportamiento es de esperar! Recuerde siempre que la transformada de Fourier de intercambios de caries en el infinito con suavidad. Se le preguntó acerca de un muy suave funciones (analítica) con muy modesto caries propiedades (lo suficiente para que el FT existe). Por lo tanto, su transformada de Fourier se desintegran rápidamente hacia el infinito, sino que tendrá modesto suavidad propiedades. En particular, sería mucho pedir para la analiticidad.
Ahora para la segunda pregunta: Incluso si usted está en el buen caso, las funciones que usted obtiene de la transformación de Fourier de dos sectores diferentes no son iguales el uno al otro. Y de nuevo, el Paley-Wiener teorema da la razón: Con las notaciones anteriores $F_b$ es la transformada de Fourier de $x\mapsto e^{bx} f(x)$, de modo que $\mathcal{F}^{-1}(F_b) = e^{-bx}f(-x)$. Así que incluso si ambos $\mathcal{F}(F_{b_1})$ $\mathcal{F}(F_{b_2})$ extender a meromorphic funciones, las extensiones se difieren por un factor de $e^{(b_1-b_2)x}$.
Sin embargo: aún Hay esperanza! El Paley-Wiener teorema generaliza muy bien y le da una muy buena caracterización de holomorphic funciones cuyos sectores son las transformadas de Fourier de algo. El quid de la cuestión es que los PIES de los intercambios de decaimiento exponencial en ciertas direcciones para su análisis continuaciones en dos direcciones" igual que los intercambios polinomio caries real para la diferenciabilidad.
Esto funciona de la siguiente manera:
Empezar con un (generalizada) de la función de $f: \mathbb{R}^n\to\mathbb{C}$ y definir sus puntos de decaimiento exponencial:
$$I_f := \{b\in\mathbb{R}^n \mid e^{\langle b,x\rangle}f(x) \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n) \}$$
Algunos comentarios:
- Este conjunto puede estar vacío (creo que de $f(x)=e^{\|x\|^2}$).
- $f$ tiene una transformada de Fourier iff $0\in I_f$.
- $I_f$ es siempre convexa. En el caso unidimensional, esto significa que $I_f$ está en el intervalo (posiblemente vacía o degenerado).
- Si $b\in I_f$ $f$ tiene soporte contenida en un sistema cerrado, convexo $K\subseteq\mathbb{R}^n$, $b+K^\vee \subseteq I_f$ donde $K^\vee := \{b \mid \exists C\in\mathbb{R} \forall x\in K: \langle b,x\rangle \leq C\}$ es el doble de $K$. En particular: Si $f$ tiene soporte compacto, entonces $I_f=\mathbb{R}^n$; Si $f$ tiene apoyo en $[0,\infty)$$I_f\neq\emptyset$, $I_f = (-\infty,b]$ o $I_f=(-\infty,b)$ algunos $b\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$.
Ahora consideremos el conjunto $\Omega_f := \mathbb{R}^n + i I_f \subseteq\mathbb{C}^n$. En el caso unidimensional pensar en una horizontal "tira" o un semiplano.
La transformada de Fourier-Laplace de transformación de $f$ es la función de $F:\Omega_f\to\mathbb{C}, a+ib \mapsto \mathcal{F}(e^{bx}f(x))(a)$.
Uno puede demostrar que:
- $F$ es holomorphic en el interior de $\Omega_f$. En particular: Esto realmente es una función, incluso si $f$ es una distribución adecuada. (También la expresión de $\mathcal{F}(e^{bx}f(x))(a)$ realmente tiene sentido: La transformada de Fourier es una analítica de la función y por lo tanto puede ser evaluado en $a$.)
- $F$ crece en la mayoría de los exponencialmente a lo largo de rayas horizontales y el grado de los polinomios no varía demasiado violentamente entre las rayas. Más precisamente: Existen localmente delimitado las funciones de $C,N: I_f\to \mathbb{R}$ tal que
$$|F(a+ib)| \leq C(b) (1+|a|)^{N(b)}$$
- Por el contrario: Si $\Omega=\mathbb{R}^n+ i I$ para algunos subconjunto convexo $I\subseteq\mathbb{R}^n$ $F: \Omega\to\mathbb{C}$ es un holomorphic función con el mismo tipo de crecimiento de la restricción, entonces existe una única distribución $f$ tal que $I\subseteq I_f$ $F$ es la de Fourier de Laplace de transformación de $f$.
Hay una variedad de diferentes condiciones de crecimiento que pudieran ser impuestas en su lugar y que se corresponden a un mejor comportamiento $f$. Por ejemplo: $f\in L^2$ con apoyo en $[0,\infty)$ corresponde a $F$ holomorphic en la mitad inferior del plano-con la condición de crecimiento $\exists C\forall b<0: \int_\mathbb{R} |F(a+bi)|^2 da < C$.
