Las relaciones de Kramers-Kronig son la expresión, en el dominio de la frecuencia de Fourier, del hecho de que la susceptibilidad lineal $\chi(\tau)$ es una función causal, es decir, que la respuesta dieléctrica de la señal $f$ a un forzamiento $F$ tiene la forma $$ f(t) = \int_0^\infty \chi(\tau) F(t-\tau) \mathrm d\tau = \int_{-\infty}^\infty \theta(\tau)\chi(\tau) F(t-\tau) \mathrm d\tau $$ con $\theta(\tau)$ la función escalonada de Heaviside, de modo que $f(t)$ no depende de $F(t')$ para $t'>t$ .
Una forma de entender cómo esto da lugar a las relaciones de Kramers-Kronig es examinar la transformada de Fourier de $\chi(\tau)$ directamente, $$ \tilde \chi(\omega) = \int_{-\infty}^\infty \chi(\tau) e^{i\omega\tau} \mathrm d\tau = \int_{0}^\infty \chi(\tau) e^{i\omega\tau} \mathrm d\tau, $$ donde el núcleo de Fourier $e^{i\omega\tau}$ sólo se llama sobre un rayo unilateral. Esto significa, por tanto, que si la transformada de Fourier $\tilde\chi(\omega)$ se evalúa a una frecuencia $\omega$ con una parte imaginaria positiva, entonces la desigualdad del triángulo aplicada como $$ |\tilde \chi(\omega)| \leq \int_{0}^\infty |\chi(\tau)| e^{-\mathrm{Im}(\omega)\tau} \mathrm d\tau $$ garantiza que (siempre que $\chi(\tau)$ es de la clase $L_1$ que suele ser una hipótesis estándar para la transformada de Fourier sobre real $\omega$ para ser definido en primer lugar) $\tilde\chi(\omega)$ y una analítica sobre todo el semiplano superior complejo de $\omega$ .
Esto es extremadamente importante, porque la clase de funciones analíticas es extremadamente rígida, y esto impone severas restricciones al comportamiento de $\tilde\chi(\omega)$ . La Kramers-Kronig es una de estas restricciones - en esencia, una versión de la fórmula integral de Cauchy, aplicada a un contorno que corre a lo largo del eje real, con un medio bucle infinitesimal sobre el polo, y luego de vuelta sobre un círculo en el infinito.
Sin embargo, No creo que esta sea la forma más útil de ver las cosas, y hay un hermoso argumento en el dominio del tiempo que es mucho más claro; se explica bastante bien en Wikipedia pero vale la pena repetirlo aquí. Cuando se ve desde la perspectiva del dominio del tiempo, la relación Kramers-Kronig es una simple mezcla de dos ideas clave:
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Las partes real e imaginaria de la transformada de Fourier $\boldsymbol{ \tilde\chi(\omega)}$ están en correspondencia uno a uno con las partes pares e Impares del dominio del tiempo $\boldsymbol{\chi(\tau)}$ Si una función es par, su transformada de Fourier es real, y si es impar, su transformada es imaginaria.
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Si una función es cero para todos los tiempos $\boldsymbol{\tau<0}$ entonces sus partes pares e Impares deben ser iguales en $\boldsymbol{\tau>0}$ y enfrente en $\boldsymbol{\tau<0}$ . En otras palabras, la única manera de tener $\chi(\tau)=0$ para todos $\tau<0$ es que las partes pares e Impares estén dadas por \begin{align} \chi_\mathrm{even}(\tau) & = \frac12 \chi(|\tau|) \\ \chi_\mathrm{odd}(\tau) & = \frac12 \mathrm{sgn}(\tau)\chi(|\tau|), \end{align} o en otras palabras $$ \chi_\mathrm{odd}(\tau) = \mathrm{sgn}(\tau)\chi_\mathrm{even}(\tau) \quad \text{and} \quad \chi_\mathrm{even}(\tau) = \mathrm{sgn}(\tau)\chi_\mathrm{odd}(\tau). $$
Las relaciones de Kramers-Kronig no son más que las transformadas de Fourier de esas dos identidades, utilizando la teorema de convolución para calcular las transformadas de esos productos. Esto hace que esas transformadas sean convoluciones, $$ \mathcal{F}\left[\chi_\mathrm{odd}\right] = \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right] \ast \mathcal{F}\left[\chi_\mathrm{even}\right] \quad \text{and} \quad \mathcal{F}\left[\chi_\mathrm{even}\right] = \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right] \ast \mathcal{F}\left[\chi_\mathrm{odd}\right] $$ y si ponemos esa primera idea obtenemos $$ i\operatorname{Im}\mathopen{}\left(\tilde\chi\right) \mathclose{} = \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right] \ast \operatorname{Re}\mathopen{}\left(\tilde\chi\right) \mathclose{} \quad \text{and} \quad \operatorname{Re}\mathopen{}\left(\tilde\chi\right) \mathclose{} = \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right] \ast i\operatorname{Im}\mathopen{}\left(\tilde\chi\right) \mathclose{}, $$ y si hacemos explícitas esas circunvoluciones, obtenemos \begin{align} \operatorname{Im}\mathopen{}\left(\tilde\chi(\omega)\right) \mathclose{} & = -i\int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right](\omega-\omega') \, \operatorname{Re}\mathopen{}\left(\tilde\chi(\omega') \right) \mathclose{} \mathrm d\omega' \quad \text{and} \\ \operatorname{Re}\mathopen{}\left(\tilde\chi(\omega)\right) \mathclose{} & = i \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}\left[\mathrm{sgn}\right](\omega-\omega') \, \operatorname{Im}\mathopen{}\left(\tilde\chi(\omega') \right) \mathclose{} \mathrm d\omega' \end{align} (modulando el hecho de que no me importa la normalización de las transformaciones y las convoluciones).
En lo que respecta al núcleo de la intuición, esto es todo, realmente: estas identidades están ahora en la misma forma estructural que las relaciones finales de Kramers-Kronig, y lo único que queda es calcular la transformada de Fourier de la función de signo: como la transformada de Fourier de la función Heaviside , es una distribución, y su transformada de Fourier no es trivial de calcular, pero de ahí sale el valor principal de Cauchy.
Por último, permítanme terminar con el resumen gráfico de Wikipedia sobre el proceso:
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Tenga en cuenta que un constante parte real no nula $\varepsilon'$ y una parte imaginaria nula es completamente consistente con las relaciones de Kramers-Kronig, porque $\mathcal P \frac{1}{\omega}$ desaparece sobre funciones simétricas. Las relaciones descartan dispersivo comportamiento (es decir, un índice de refracción que cambia con la frecuencia) que no va acompañado de absorción, pero un índice de refracción constante está bien.