Punto fijo de la Propiedad de un espacio especial?

Question

Supongamos $X$ es un compacto conectado métrica conectado espacio y para cada $\epsilon >0$ , existe un continuo surjective función de $f : X \rightarrow [0,1]$, que para todos los $y \in [0,1]$, el diámetro del conjunto de $f^{-1} (y)$ es de menos de $\epsilon$.

Demostrar que $X$ tiene el punto fijo de la propiedad; es decir, para todos los continuos $g : X \rightarrow X$ existe $x_0 \in X$ que $g(x_0) = x_0$.

Si sabemos que para un continuo surjective función de $f : X \rightarrow [0,1]$ el diámetro de $f^{-1} (y)$ es cero, entonces sabemos que $X$ $[0,1]$ son homeomórficos, por lo que la instrucción está probada. Pero no tengo idea de por que.

Las sugerencias son apreciados.

Answer 1

Aquí es una solución que funciona incluso cuando se sustituye la unidad cerrada de intervalo con la unidad cerrada $N$-ball $B$. Voy a describir los pasos de la prueba y dejar que se rellene los detalles. (Dado que el problema huele como una tarea.)

(0). Probar el siguiente lema similar a la continuidad uniforme de funciones continuas en compacto métrica espacios (y probado en una manera similar):

Lema. Deje $f: (X,d_X)\to (Y,d_Y)$ ser un mapa continuo entre dos compacto métrica espacios que por cada $y\in Y$, $diam(f^{-1}(y))\le \epsilon$. Entonces existe $\sigma>0$ (dependiendo $f$ y en $\epsilon$) tales que $$ \forall x_1, x_2\in X, ~~~d_Y(f(x_1), f(x_2))<\sigma \Rightarrow d_X(x_1, x_2)< 2\epsilon. $$

(1). Dado $f$ $g$ como en el problema ($f$ es surjective y $diam(f^{-1}(y))<\epsilon$ todos los $y\in B$), la construcción de un seccionalmente lineales mapa continuo $h: B\to B$ de manera tal que el siguiente diagrama es "casi conmutativa": $$ \requieren{AMScd} \begin{CD} X @>{g}>> X\\ @VVfV @VVfV \\ B @>{h}>> B \end{CD} $$ lo que significa que $d(f\circ g, h\circ f)<\delta(\epsilon)$, donde $$ \lim_{\epsilon\to 0}\delta(\epsilon)=0. $$

Voy a explicar cómo hacerlo en el caso de $B=[0,1]$, la extensión al caso en el $B$ es de mayores dimensiones es bastante sencillo. Con el fin de construir una $h$ primero escoger un subconjunto finito $0=y_0< y_1 < y_2 < ... <y_n\in [0,1]$ ($|y_i- y_{i-1}|$ lo suficientemente pequeño para que todos los $i$) tales que $$ \forall i\in \{1,...,n\}, ~~diam(f^{-1}([y_{i-1}, y_i])) < 2\epsilon $$ A continuación, defina $h$ sobre el subconjunto finito $\{y_0,...,y_n\}$, de modo que $$ \forall y_i, \existe x_i\f^{-1}(y_i), h(y_i)=fg(x_i). $$ A continuación, extender $h$ para el resto de $[0,1]$ linealmente en cada intervalo de $[y_{i-1},y_i]$.

(2). Utilice el hecho de que $B$ tiene el punto fijo de la propiedad para mostrar que $g$ "casi" tiene un punto fijo, es decir: Por cada $\epsilon>0$ hay un punto de $x\in X$ tal que $d(g(x), x)\le \eta(\epsilon)$, donde $$ \lim_{\epsilon\to 0}\eta(\epsilon)=0. $$

Para probar esto, tome $y\in B$ tal que $h(y)=y$ y de pensar de su preimagen $f^{-1}(y)$.

(3). A la conclusión de que hay una secuencia $(x_n)$ $X$ tal que $$ \lim_{n\to\infty} d(g(x_n), x_n)=0. $$

(4). El uso de la compacidad de $X$ que $g$ tiene un punto fijo en $X$.

Answer 2

considere la posibilidad de $h: X \rightarrow X$ continuo. Quiero demostrar que hay $x \in X$ que $h(x)=x$. para $\epsilon > 0$ considera $foh -f : X \rightarrow [0,1]$.debido a $f$ es surjective, no es $x \in X$ que $(foh -f) (x) \leq 0$ e no es $y \in X$ que $(foh -f) (y)\geq 0$. $foh -f $ es continua y $X$ está conectado, de modo que existe $t \in X$ que $(foh -f)(t) =0$. a continuación,$t , h(t) \in f^{-1}(f(t))$. por lo $d(t , h(t)) < \epsilon$.de modo que podemos tener una secuencia $t_n$ que $d(t_n , h(t_n)) < 1/n$. debido a $X$ es compacto, podemos encontrar $s \in X$ que $s = h(s)$.