Cálculo de un límite con función trignonométrica y cuadrática

Question

$$\lim_{n->\infty}\left(1+{1\over{n^2+\cos n}}\right)^{n^2+n}$$

Vagamente tengo la idea de que desde $\cos n$ y $n$ no importan realmente en comparación con $n^2$ Esto debe evaluarse como $e$ . Pero no estoy seguro de cómo demostrarlo. Además hacer todos los límites de la forma $$\lim_{n->\infty}\left(1+{1\over{n^2+f(n)}}\right)^{n^2+g(n)}$$ evaluar a e dado que $f'(x),g'(x)<2x;\forall x>0$ ?

Answer 1

$$\lim_{n->\infty}\left(1+{1\over{n^2+\cos n}}\right)^{n^2+n}=\lim_{n->\infty}\left[\left(1+{1\over{n^2+\cos n}}\right)^{n^2+\cos n}\right]^{\frac{n^2+n}{n^2+\cos n}}$$

y

$$\frac{n^2}{n^2+1}\le\frac{n^2+n}{n^2+\cos n}\le\frac{n^2+n}{n^2-1}$$

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$\left(1+{1\over{n^2+\cos n}}\right)^{n^2+n}=\left[\left(1+{1\over{n^2+\cos n}}\right)^{n^2+\cos n}\right]^{\frac{n^2+n}{n^2+\cos n}}$$

Para el caso general, con el mismo argumento tenemos que

$$\lim_{n->\infty}\left(1+{1\over{n^2+f(n)}}\right)^{n^2+g(n)}=e$$

cuando

• $n^2+f(n)\to \infty$
• $\frac{n^2+g(n)}{n^2+f(n)}\to1$

Answer 3

Tomando $\log$ y utilizando una equivalencia bien conocida: $$ \log\lim_{n\to\infty}\left(1 + {1\over{n^2 + \cos n}}\right)^{n^2+n} = \lim_{n\to\infty}\log\left(1 + {1\over{n^2 + \cos n}}\right)^{n^2+n} = $$ $$ \lim_{n\to\infty}(n^2 + n)\log\left(1 + {1\over{n^2 + \cos n}}\right) = \lim_{n\to\infty}\frac{n^2 + n}{n^2 + \cos n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1 + 1/n}{1 + (\cos n)/n^2} = 1, $$ así que $$\lim_{n\to\infty}\left(1 + {1\over{n^2 + \cos n}}\right)^{n^2+n} = e. $$