¿Por qué tenemos que calcular las dimensiones?

Question

Después de estudiar Kenneth Falconer la Geometría Fractal, tengo algunas técnicas para el cálculo de la dimensión de Hausdorff. Sin embargo, estoy un poco decepcionado porque en la parte de la aplicación, el libro todavía es sólo discutir el cálculo de las dimensiones. Siempre calcular las dimensiones - en teoría de números, en el análisis complejo, en termodinámica, etc.

Así que aquí vienen dos preguntas:

1. ¿Por qué tenemos que calcular las dimensiones? Quiero decir, mediante el cálculo de las dimensiones, podemos hacer otra cosa que los valores de dimensión, como un teorema en el análisis complejo (de la que la declaración no incluye el concepto de dimensión de Hausdorff) que no puede ser probado sin el uso de las propiedades de dimensión de Hausdorff?

2. ¿El estudio de la dimensión nos dan mucho resultado inesperado en la física? Sé que la naturaleza caótica de un sistema que hace que su evolución es impredecible. (Un ejemplo es el de la previsión meteorológica.) Pero puede fractal análisis de hacer el pronóstico del tiempo más exacto? ¿O es que el estudio de los fractales sólo ilustra el error que se tiene cuando el pronosticar el tiempo sin que nos ayuda a minimizar?

Estoy teniendo un tiempo difícil para hacer esta pregunta específica, pero tal vez usted todavía piensa que es demasiado general. Espero que usted me puede ayudar a hacerlo más específico.

Answer 1

Considere el siguiente problema en el análisis complejo: tiene un conjunto compacto $K \subset \mathbb C$, y una limitada función que es holomorphic en $\Omega \backslash K$ donde $\Omega$ es un dominio que contenga $K$. Bajo qué condiciones en $K$ puede ampliar automáticamente $f$ a un holomorphic de la función en $\Omega$? Si es el caso para cada función $f$, $K$ se dice que el ser extraíble.

Riemann extraíble singularidad dice que se puede hacer si $K$ es finito. Es obvio que no se puede hacer en general si $K$ interiores.

Resulta que la dimensión de Hausdorff de $K$ desempeña un papel. Si su dimensión de Hausdorff es menor que uno, $K$ es extraíble. Si es más de uno que no lo es. Si es uno... entonces es complicado. Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_capacity para obtener más detalles y referencias.

En cuanto a la segunda pregunta, yo no soy físico y no puede responder. Yo simplemente digo que yo esperaría que en las preguntas relacionadas con las simulaciones numéricas, conocer la dimensión de Hausdorff le diría lo que el tamaño de la malla a utilizar para una determinada precisión.

Answer 2

¿Por qué tenemos que calcular las dimensiones?

La dimensión es una útil característica de un fractal, como el diámetro o el centro de masa son útiles características de la normal de objetos geométricos o como la media, mediana, varianza, asimetría, y así sucesivamente, son útiles característicos de una distribución:

• Un fractal incrustado en el espacio de dos dimensiones con una dimensión de 1.1 es considerablemente diferente de uno con una dimensión de 1.9. El primero es casi una línea, la segunda es más como un (trozo de) queso con agujeros.

• Una línea de costa con dimensión 1.1 es menos desigual que la de uno con la dimensión 1.9.

• La dimensión de un sistema vascular puede permitir extraer conclusiones sobre su eficiencia, robustez, y así sucesivamente.

• Un caótico sistema dinámico con una dimensión de 2.1 es claramente diferente de uno con la dimensión 2.9. Más específicamente, si un tiempo continuo, sistema dinámico con tres dinámicas de las variables tiene una dimensión cercana a los 2, usted puede esperar que uno de los grados de libertad es casi espurias. Por ejemplo, podría ser que dos de las dinámicas de las variables están en algún tipo de sincronía mayor parte del tiempo. Este es por ejemplo el caso de la de Lorenz oscilador con una dimensión de 2.06.

¿El estudio de la dimensión nos dan mucho resultado inesperado en la física? Sé que la naturaleza caótica de un sistema que hace que su evolución es impredecible.( Un ejemplo aparece en el informe del tiempo.) Pero, ¿fractal el análisis de si el informe más preciso? ¿O es que el sudy de fractales sólo ilustra el error que tiene en si del informe, sin que nos ayuda a minimizar?

Primero de todo, las dimensiones son una forma de detectar el caos. Por ejemplo, si usted tiene una serie de tiempo generada por algún sistema dinámico, se puede reconstruir su atractor (es decir, algo que tiene la misma dimensión) y medir su dimensión – si es significativamente no entero, se tiene un sistema caótico.

Sin embargo, si usted tiene el caos, la dimensión (y otros no-lineal medidas como exponentes de Lyapunov o entropía) en realidad no ayudará a predecir mejor, sólo para entender por qué hay problemas de predicción de él.

El sólo uso de las dimensiones fractales de los otros como una simple medida de la que soy consciente de que es el teorema de Sauer, Yorke, y Casdagli, que hace una estimación de la suficiente incrustación de dimensión para un atractor de reconstrucción basado en el cuadro de conteo de dimensión y puede funcionar como una comprobación de validez de la elección de la incorporación de la dimensión.