El polinomio mínimo para $r(6)$ es $$\color{red}{7841367r^{18}-33449976r^{16}+62607492r^{14}-63156942r^{12}+41451480r^{10}-19376280r^8+5156603r^6-746832r^4+54016r^2+3072}$$ Obtuve este resultado en una sesión maratoniana de codificación durante el Año Nuevo chino, que se prolongó hasta bien entrada la noche del 15 de febrero y continuó hasta la tarde del 16 de febrero.
Por simetría, podemos limitarnos a una mitad de la configuración, que tomaré como el semiplano superior. Consideremos entonces los centros de los discos menores y sus puntos de intersección (tanto entre ellos como con el disco unitario exterior, centrado en el origen), y obtendremos el siguiente diagrama:
![enter image description here]()
Los puntos negros son los puntos clave del problema; más adelante obtendremos expresiones para sus coordenadas. Cada segmento de la línea roja es un radio de algún disco pequeño, por lo que todos ellos tienen la misma longitud, que llamaré $r$ . El punto rojo es el centro del disco en la esquina superior izquierda del diagrama, y los dos segmentos que inciden en él forman un diámetro.
Además de $r$ definimos otras dos variables $a$ y $b$ y, a continuación, establecer las coordenadas de los dos puntos clave en el $x$ -eje como $A=(-a,0)$ y $B=(b,0)$ como se muestra en el diagrama ( $a,b,r$ son positivos). Las coordenadas de los otros puntos clave se pueden derivar de la siguiente manera (utilizaré $1$ para referirse al punto con coordenadas $(x_1,y_1)$ y así sucesivamente, mientras que $O$ asume su significado habitual del origen):
- La ley de los cosenos da $\cos\angle1OA=\frac{1+a^2-r^2}{2a}$ . Porque este es también el suplemento de $1$ de la empresa, tenemos $$x_1=-\frac{1+a^2-r^2}{2a}$$ $y_1$ es entonces sencillo: $$y_1=\sqrt{1-x_1^2}$$ Podemos hacer lo mismo con $\angle2OB$ para conseguir $$x_2=\frac{1+b^2-r^2}{2b}\qquad y_2=\sqrt{1-x_2^2}$$
- $3$ se encuentra en la bisectriz de $A$ y $B$ : $$x_3=\frac{b-a}2$$ Si la altitud se reduce de $3$ a la $x$ -eje, con $F$ como el pie, entonces $\angle3FB$ es correcto, por lo que el teorema de Pitágoras da $$y_3=\sqrt{r^2-\left(\frac{a+b}2\right)^2}$$
- Las coordenadas de $4$ ahora se puede derivar tan simplemente como sumar dos vectores (en este caso, $\vec{B3}$ y $\vec{B2}$ ): $$x_4=x_2+x_3-b\qquad y_4=y_2+y_3$$
- $\angle BO5=\angle BO1-\angle5O1$ donde es trivial calcular $\sin\angle5O1=2r\sqrt{1-r^2}$ y $\cos\angle5O1=1-2r^2$ . Ya hemos trabajado $\sin\angle BO1$ y $\cos\angle BO1$ como $y_1$ y $x_1$ respectivamente, por lo que aplicando las fórmulas de adición de ángulos se obtiene $$x_5=\cos\angle BO5=x_1(1-2r^2)+y_1(2r\sqrt{1-r^2})\\ y_5=\sin\angle BO5=y_1(1-2r^2)-x_1(2r\sqrt{1-r^2})$$
Para que la configuración dada sea válida, la distancia entre $4$ y $5$ debe ser $r$ . Esto puede expresarse como una restricción: $$g(a,b,r)=(x_5-x_4)^2+(y_5-y_4)^2-r^2=0$$
Expresar el problema de encontrar $r(6)$ como un problema de optimización: $$\text{minimise }f(a,b,r)=r\text{ subject to }g(a,b,r)=0$$ Ahora trata de resolver esto usando los multiplicadores de Lagrange. El lagrangiano es $$f-\lambda g=r-\lambda g(a,b,r)$$ y todas sus primeras derivadas parciales deben ser cero, dando un sistema de cuatro ecuaciones: $$-\lambda\frac{\partial g}{\partial a}=-\lambda\frac{\partial g}{\partial b}=1-\lambda\frac{\partial g}{\partial r}=-g=0$$ Sin embargo, si $\lambda=0$ entonces la tercera ecuación se reduce al absurdo $1=0$ . Así, $\frac{\partial g}{\partial a}=\frac{\partial g}{\partial b}=0$ y al combinarlas con la cuarta ecuación se obtiene un sistema de tres ecuaciones en tres incógnitas: $$\frac{\partial g}{\partial a}=\frac{\partial g}{\partial b}=g=0$$ Es este último sistema el que vamos a resolver.
Antes de proceder a resolver el polinomio mínimo de $r(6)$ necesitamos convertir $g$ en una forma polinómica, aunque esto introduce soluciones adicionales. Esto se hace eliminando las raíces cuadradas. Si $$g=p+m\sqrt q=0$$ donde $p,m,q$ son expresiones arbitrarias, la raíz sobre $q$ puede eliminarse trayendo $m\sqrt q$ a la RHS, cuadrando y retrocediendo: $$g=p^2-m^2q=0$$ Todas las soluciones originales de $g$ se mantienen en este proceso de elevación, pero hay que tener cuidado de que los grados sean pequeños. La elevación con $q=-a^4+2a^2r^2+2a^2-r^4+2r^2-1$ entonces $q=-b^4+2b^2r^2+2b^2-r^4+2r^2-1$ ya permite que se factoricen varios polinomios pequeños, que eliminé comparando con aproximaciones numéricas para el óptimo $r,a,b$ . Luego realicé un último levantamiento con $q=\sqrt{-r^2+1}\sqrt{-a^2-2ab-b^2+4r^2}$ con lo cual $g$ era un polinomio irreducible de grado total $22$ con $286$ monomios . El grado de $r$ en $g$ siempre es par, así que he sustituido $s=r^2$ , reduciendo el grado total a $18$ .
El sistema lagrangiano se resolvió finalmente en Singular mediante cálculos resultantes: $a$ se eliminó de cada uno de los pares $\left(g,\frac{\partial g}{\partial a}\right)$ y $\left(g,\frac{\partial g}{\partial b}\right)$ y he eliminado los factores irrelevantes como antes. Los dos polinomios relevantes en $s$ y $b$ se combinaron en un tercer par y $b$ se eliminó, dando lugar a un polinomio univariante final en $s$ de grado $616$ . El oro al final del arco iris - $s$ es de grado $9$ , y sustituyendo de nuevo $s=r^2$ da el grado- $18$ polinomio mínimo de $r(6)$ que escribí al principio de esta respuesta: $$7841367r^{18}-33449976r^{16}+62607492r^{14}-63156942r^{12}+41451480r^{10}-19376280r^8+5156603r^6-746832r^4+54016r^2+3072$$
Eliminando $s$ en lugar de $b$ en la resultante de $c_1$ y $c_2$ , $b$ se puede obtener el polinomio mínimo de la empresa: $$7841367b^{18}-7610085b^{16}-71679924b^{14}-45430974b^{12}+58085154b^{10}+26617188b^8-12289505b^6-5546269b^4+2814464b^2-327680$$ Eliminando $b$ en lugar de $a$ al calcular las dos primeras resultantes, $a$ se puede obtener el polinomio mínimo de la empresa: $$7841367a^{18}-90811125a^{16}+344734812a^{14}-376618374a^{12}-189418782a^{10}+373328980a^8+71968935a^6-130579181a^4+27056736a^2-800000$$ $r$ se indexa como A299695 en la OEIS.
3 de mayo de 2021 : Tres años después de este monumental cálculo había aprendido lo suficiente de las bases de Gröbner y de las bibliotecas de Singular para conseguir una derivación más limpia del polinomio mínimo para $r(6)$ . En lugar de construir iterativamente puntos a partir de una variable de radio y dos puntos base, añadí más variables y eliminé algunas de ellas a la vez para obtener la misma reducción $g$ como se ha descrito anteriormente más rápido . También se aceleraron algunos aspectos de la última etapa, de manera que el nuevo código combinado sólo toma $2.5$ minutos en la parte de Python y $3$ minutos en la parte Singular.
Este es el nuevo modelo:
![]()
Las limitaciones son $1A,B2,45,15$ con los rótulos de los vértices referidos a la imagen de 2018 que aparece arriba; eliminando $t,u,v$ mediante el procedimiento de Gröbner elim da $g$ después de una división por $r$ (este $r$ equivale a la $s$ de la antigua derivación). Para eliminar una variable se sigue utilizando un cálculo de la resultante (esta vez $b$ ) de $\left(g,\frac{\partial g}{\partial a}\right)$ y $\left(g,\frac{\partial g}{\partial b}\right)$ y conseguir $a$ y $b$ pero la eliminación final para $r$ utiliza elim .
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A Puesto de MO para el caso $n=7$ .
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