Mostrar que $\bar G=\left\{ \begin{pmatrix} e^{it} & 0 \\ 0 & e^{is} \\ \end{pmatrix}| t ,s \in \Bbb R\right\}$.

Question

Deje $a \not \in \Bbb Q$ y deje $G$ ser el siguiente subgrupo de $GL(2, \Bbb C)$:

Deja $$G=\left\{ \begin{pmatrix} e^{it} & 0 \\ 0 & e^{ita} \\ \end{pmatrix}| t \en \Bbb R\right\} $$

Demostrar que $\bar (G)=\left\{ \begin{pmatrix} e^{it} & 0 \\ 0 & e^{is} \\ \end{pmatrix}| t,s \en \Bbb R\right\}$.

Sé que tengo que usar el hecho de que $\{e^{2\pi ina}: n\in \Bbb Z\}$ es denso en $S^1$. Pero no puedo poner todos los enlaces que faltan correctamente.

Lo que supongo que si me pongo a $t=2\pi n$ y varían $n \in \Bbb Z$ $e^{it}=1$ $e^{ita}$ sería denso en $S^1$ luego de tomar cierre me gustaría conseguir $$\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{is} \\ \end{pmatrix}| s \en \Bbb R\right\}$$

Lo siguiente es lo? Por favor ayuda

Answer 1

Deje $t' \in [0,2\pi)$ ser fijo. A partir de ahora $t_n=t'+2 \pi n$. A continuación,$e^{it} = e^{it'}$$e^{ita} = e^{it'a}e^{2 \pi i an}$. Ahora, usted puede utilizar ese $\{e^{2\pi a n} \, : \, n \in \mathbb{Z}\}$ es denso en $S^1$: $s \in [0,2\pi)$ usted puede encontrar un subsequene $n_k$$e^{2 \pi i an_k} \rightarrow e^{-it'a+is}$.

Answer 2

Un toque en la forma en que estaban pensando,

usted puede romper $$ \begin{pmatrix} e^{it} & 0 \\ 0 & e^{ita}\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} e^{it} & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{ita} \\ \end{pmatrix}$$. Then use two different sequences of matrices in $G$ converging these two matrices $\begin{pmatrix} e^{it} & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{is} \\ \end{pmatrix}$ por separado y, a continuación, tomar el producto de ellos. A pesar de que una respuesta es dada.