Lo que se sostiene hasta el punto más bajo de una cuerda después de una curva catenaria?

Question

Una curva catenaria es la curva seguida por una cuerda suspendida en ambos extremos en el uniforme de la gravedad.

Yo pensaba que iba a tratar de resolver yo mismo, ya que me pareció un buen reto, pero casi de inmediato me quedé atrapado en esta pregunta.

Dado que nada se mueve, podemos decir

$$T_{left} + T_{right} + F_g = 0$$

donde $T_{left}$ es la tensión a lo largo de la cuerda a la izquierda y $T_{right}$ es la tensión a lo largo de la cuerda a la derecha. Fino y elegante.

Ahora, dado que la catenaria de la curva es suave entre (pero sin incluir) sus extremos, $T_{left}$ debe siempre ser colinear con $T_{right}$. Así que, a continuación, la dirección x, de los componentes de cancelar y la red de la dirección del eje y componentes cancela con la gravedad.

Pero ¿qué pasa en el punto más bajo de la catenaria de la curva? Intuitivamente, este debe ser el punto donde la tangente es perfectamente ortogonal a la de la gravedad, y, como tal,$\hat{T}_{right} = - \hat{T}_{left} = \hat{i}$.

Dado que tanto $T_{left}$ $T_{right}$ son ortogonales $F_g$...

lo que se sostiene hasta el punto más bajo de una cuerda después de una curva catenaria?

Answer 1

El punto más bajo no es exactamente alineados horizontalmente con los vecinos puntos. Es ligeramente más abajo.

Si no lo era, entonces, tal como la describe, no sería una red vertical de la fuerza hacia abajo. Si ese fuera el caso, entonces el punto de acelerar hacia abajo hasta que la fuerza vertical fue equilibrado. Y luego volvería a llegar a la configuración que he mencionado: el punto es no perfectamente alineados horizontalmente con sus vecinos, es ligeramente inferior.

Si ahora argumentan que puede reducir el tamaño de ese punto hacia infinitesimal causando la posición que tienden hacia la alineación horizontal, entonces estás olvidando de que la masa también , al mismo tiempo, tiende a ser infinitesimal; hacia el cero, básicamente. Con una masa de cero significa que no hay fuerza de gravedad hacia abajo y por lo tanto no vertical de la fuerza neta de todos modos.

Dicho en última instancia, a la más baja y infinitesimalmente pequeño punto no necesita ser mantenido, porque no es caída.

Answer 2

La cuerda es continua y de densidad uniforme. La cantidad de masa de cualquier pequeño segmento depende de cuánto tiempo este segmento.

En exactamente el centro de un segmento de longitud cero y por tanto, no la masa y el peso, o un segmento de longitud finita, pero con los extremos curvados cada tan poco lo suficiente fuerza vertical para soportar el peso.

Que es lo que una catenaria es por definición.

Answer 3

Para resolver un problema es necesario considerar no un punto en un cable, pero una parte pequeña de ella y, a continuación, mueva el límite con la longitud que va a 0.

A continuación, puede escribir ecuaciones, tal y como hizo y obtener:

$\vec{T}_{left} + \vec T_{right} = -m\vec g$

Vamos a considerar sólo un simétrica de la situación a la parte del cable en la parte inferior (aún con el no-longitud cero). corrección del ángulo de $\alpha$ $\vec{T}_{left}$ y la línea horizontal - para $\vec{T}_{right}$ tenemos el mismo ángulo.

Considerando sólo los componentes verticales de las fuerzas obtenemos $\vec{T}_{left} \mathrm{sin}(\alpha) + \vec{T}_{right} \mathrm{sin}(\alpha) = mg$

Ahora podemos tomar un límite de con $m$ aproxima a 0. Es claro que $\alpha$ va a 0, por lo que la ecuación anterior se mantiene. Y eso es lo que estamos esperando. Cuando cortas la parte de cable se vuelve más plana.

Breve nota sobre su enfoque: Tomar Newton la ecuación de $m\vec a = \vec F = m\vec g$
Simplemente no se puede dividir por m si es igual a 0 y eso es exactamente su caso.