Número de formas de elegir siete niños de una clase de 32 (15 niños, 17 niñas) con al menos 1 niño.

Question

Sé que la solución correcta se puede calcular como: $$ \binom {32} {7} - \binom {17}{7}$$

Pero, ¿por qué la siguiente solución es incorrecta? (Me interesa saber por qué el razonamiento siguiente es incorrecto, aunque sea consciente de que los dos números no son iguales): $$ \frac{15 \binom {31} {6}}{2!} $$

El razonamiento es que primero elegimos a un niño ($15$ opciones) y luego elegimos $6$ niños de entre los $31$ restantes de una manera arbitraria. Finalmente dividimos por $2!$ ya que el orden de los dos grupos no importa.

Answer 1

Vamos a enumerar a los niños como $B_1,B_2,...,B_{15}$ y a las niñas como $G_1,G_2,...,G_{17}$. Entonces, en tu método, escogemos uno de ellos primero, digamos $B_1$. Luego, para los otros $6$ niños, digamos que $B_2$ está entre ellos y el resto son $G_1,G_2,...,G_5$. Pero esto es igual que escoger primero a $B_2 y luego escoger a los otros $6$ niños como $B_1,G_1,G_2,...,G_5$. Aunque este es solo un ejemplo, puedes ver fácilmente que en tu método estamos contando de más.

Answer 2

La división por 2 es incorrecta, como alternativa podrías calcularlo de la siguiente manera

$$\binom {15}{1}\binom {17}{6}+\binom {15}{2}\binom {17}{5}+\binom {15}{3}\binom {17}{4}+\binom {15}{4}\binom {17}{3}+\binom {15}{5}\binom {17}{2}+\binom {15}{6}\binom {17}{1}+\binom {15}{7}\binom {17}{0}=\sum_{k=1}^7\binom{15}{k}\binom{17}{7-k}$$

mostrando también que por principio de conteo

$$\sum_{k=1}^7\binom{15}{k}\binom{17}{7-k}=\binom{32}{7} - \binom{17}{7}$$

y más en general la Identidad de Vandermonde

$$\binom{m+n}{r}=\sum_{k=0}^r\binom{m}{k}\binom{n}{r-k}$$

Answer 3

En primer lugar, dividir por $2!$ no es correcto, ya que los grupos no son indistinguibles (el primer grupo tiene un niño, mientras que el segundo grupo tiene $6$ niños).

Pero el numerador tampoco es correcto, ya que algunas de las elecciones resultantes se cuentan exactamente una vez, y otras se cuentan más de una vez.

Por ejemplo . . .

Si después de elegir un niño, las otras $6$ elecciones son niñas, el numerador cuenta esa selección exactamente una vez.

Por otro lado, si el niño #$1$ es elegido primero, y el niño #$2$ es una de las otras $6$ elecciones, el numerador cuenta esa selección más de una vez, ya que se puede obtener el mismo resultado eligiendo al niño #$2$ primero, y al niño #$1$ como una de las otras $6$ elecciones.

Answer 4

Solo por diversión, aquí hay una forma de modificar tu enfoque para obtener la respuesta correcta como sugirió @ArsenBerk en un comentario.

Suponiendo que quieras elegir al $1$ niño primero en $\binom{15}{1}$ formas, entonces debemos dividir las elecciones restantes de $31$ estudiantes en casos donde se eligen $k=0,1,\ldots, 6$ niños restantes de los $14$ y se eligen $6-k$ niñas de los $17$. Para cada $k$, esto se puede hacer en $\binom{14}{k}\binom{17}{6-k}$ formas.

Sin embargo, cada uno de estos casos debe dividirse por el número de formas equivalentes en las que se puede seleccionar primero a $1$ de los $k+1$ niños elegidos, claramente hay $\binom{k+1}{1}$ de estos, por lo que dividiendo cada término por esto, sumando y multiplicando esta suma por el término inicial $\binom{15}{1}$ da:

$$\binom{15}{1}\sum_{k=0}^{6}\binom{14}{k}\binom{17}{6-k}/\binom{k+1}{1}\tag{Respuesta}$$

lo cual puedes confirmar que es igual a $\binom{32}{7}-\binom{17}{7}$.

De hecho, al tomar $\binom{15}{1}$ dentro de la suma, una pequeña manipulación algebraica muestra que esto es solo parte de la suma de la identidad de Vandermonde presentada por @gimusi.

Answer 5

Creo que la mejor explicación es tomar un grupo con, digamos, 4 chicos y 3 chicas.

Con tu método, cualquiera de esos chicos podría haber sido el primero en ser elegido, y el resto fue elegido como el grupo de seis niños de los 31 restantes. Esto significa que, en tu expresión $15 {31 \choose 6}$ cada grupo con cuatro chicos se cuenta cuatro veces.

Lo mismo ocurre con los grupos de 5 chicos, donde cada grupo se cuenta cinco veces. Sin embargo, divides ese número por dos, como si se contaran solo dos veces.