Determina el límite para $a\geq-1$

Question

Sea $s_n(a)=1^a+2^a+\cdots+n^a$ donde $a$ es real. Determina:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{s_n(a+1)}{ns_n(a)}$$

para $a\geq-1$.

Puedo mostrar que converge. También puedo encontrar el límite para el caso particular cuando $a=0$. Creo que podría encontrar una fórmula para números naturales y demostrarla por inducción. Pero dado que $a$ es real, estoy atascado. ¿Algún consejo sobre cómo debo proceder? ¡Gracias!

Answer 1

De este, $$s_m(a)=O\left(\frac{m^{a+1}}{a+1}\right)$$ (Esto también es evidente a partir de los ejemplos aquí) para $a\ge 0$

Entonces, $$\lim_{n\to\infty}\frac{s_n(a+1)}{ns_n(a)}$$ $$=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^{a+2}}{a+2}+\text{ términos en las potencias inferiores de $n$}}{n\{\frac{n^{a+1}}{a+1}+\text{ términos en las potencias inferiores de $n$}\}}$$ $$=\frac{a+1}{a+2}$$

Answer 2

Para $a>-1$,
$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\sum\limits_{k\leq n} k^{a+1}}{n\sum\limits_{k\leq n} k^a} =\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k\leq n} (\dfrac{k}{n})^{a+1}}{\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k\leq n} (\dfrac{k}{n})^a} =\dfrac{\int_0^1 x^{a+1} \mathscr{d}x}{\int_0^1 x^a \mathscr{d}x} =\dfrac{a+1}{a+2}$.

para $a=-1$,
$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\sum\limits_{k\leq n} k^{a+1}}{n\sum\limits_{k\leq n} k^a} =\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{n}{n\sum\limits_{k\leq n} k^{-1}}=0$

Entonces, para $a\geq 1$, $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{s_n(a+1)}{ns_n(a)}=\dfrac{a+1}{a+2}$