Número de maneras de numeración de un icosaedro

Question

Me preguntaba cómo muchas maneras en que un icosaedro regular (abajo) construido a partir de 20 de congruencia de triángulos equiláteros podría ser numeradas del 1 al 20. Me voy a referir a los sólidos en 'capas', por lo que las capas superior e inferior son de 5 triángulos que forman una pirámide pentagonal, mientras que la capa intermedia es de 10 triángulos.

Hasta ahora mis pensamientos son:

1. Escoger los 5 números de la parte superior de la capa y permutar, como si la organización de alrededor de un círculo - $\binom{20}{5}\cdot4!$
2. Elegir 10 números para el medio y permutar, como si la organización de alrededor de un círculo - $\binom{15}{10}\cdot9!$
3. Permutar el resto de los 5 números de la parte inferior de la capa - $4!$ Que da $\binom{20}{5}\cdot\binom{15}{5}\cdot(4!)^{2}\cdot9!$ en total.

Sin embargo, estoy seguro de cómo (o si necesito a) más de la cuenta para cualquier simetría en el sólido, especialmente desde que no importa de donde puse el primer número. Podría alguien explicar por favor en detalle si mis pasos son algo correcto o si estoy completamente equivocado y cómo me lo cuenta para que la simetría?

Answer 1

La respuesta es muy simple: hay $20!$ formas de asignar el 20 distintos números de caras, pero la de los grupos de rotación de la icosaedro tiene orden de los 60, así que dividir por 60 para obtener la respuesta final de la $\frac{20!}{60}=4.05×10^{16}$. Si usted considera que sus reflexiones a ser el mismo, este número debe ser dividido por dos, dando a $\frac{20!}{120}=2.03×10^{16}$ numeraciones.