El proyectiva especial lineal de los grupos de $PSL(2,4)$, $PSL(2,5)$ y $PSL(2,9)$ tienen la propiedad de que sus órdenes de igualdad de la orden de alternar un grupo. También son isomorfos a los respectivos alternando grupos.
En este caso, tenemos que $|PSL(2,4)| = |PSL(2,5)| = |A_5|\ $$|PSL(2,9)| = |A_6|$. Deje $F$ ser un campo finito. El orden de $|PSL(2,F)|$ está dado por $(2^n - 1)2^n(2^n + 1)$ al $F$ es de carácter $2$. De lo contrario es igual a $\frac{1}{2}(p^n - 1)p^n(p^n + 1)$ donde $p$ es la característica de la $F$.
Me he estado preguntando acerca de la siguiente pregunta: ¿cuándo es $|PSL(2,F)| = |A_k|$? En otras palabras, para que $n$ $k$ de las ecuaciones
\begin{align*} & 2^{n+1}(2^n - 1)(2^n + 1) = k!\\ &(p^n - 1)p^n(p^n + 1) = k! \text{, where p is an odd prime} \end{align*}
tiene soluciones? Hay sólo un número finito de soluciones? Y a generalizar, ¿qué acerca de la $PSL(m, F)$?
