Cubrir el espacio de un no-orientable de la superficie

Question

Tengo el siguiente problema:

Encontrar el 2-toldo (orientable) cubierta de la no-orientable de la superficie de género g.

Los casos de $g=1,2$ son bien conocidos, tenemos que la cubierta de $\mathbb{R}P^2$ $\mathbb{R}^2$ y la botella de Klein es cubierto por el toro. Mi intuición es que la respuesta va a ser la superficie orientable de género $g-1$ o de la $g-1$ toro, y traté de trabajar con la representación de la no-orientable superficie como un $2g$-gon determinado por la palabra $a_1a_1a_2a_2\dots a_g a_g$... donde $a_i$ son los vértices. Cualquier sugerencias?

Answer 1

Desde característica de Euler es multiplicativo con respecto a finito (toldo) revestimientos, vemos la orientable doble cubierta debe tener el doble de la característica de Euler. Esto ya pines de abajo de la homeomorphism tipo de la cubierta.

Para ver de una forma más explícita, considere la costumbre de la incrustación de una superficie orientable en $\mathbb{R}^3$ (como una larga cadena-como la forma). Esta incrustación puede ser traducido/girado en torno a que las reflexiones en los 3 planos de coordenadas de mapas de la superficie a sí mismo.

Con esta incorporación, hay un $\mathbb{Z}/2$ acción en $\mathbb{R}^3$ dada por el antipodal mapa de $x \mapsto -x$. Esta acción se conserva el incrustado de la superficie y actúa libremente, por lo que el cociente es un colector. Desde el antipodal mapa es la orientación de la inversión, el cociente es nonorientable.

Answer 2

Siempre hay una orientación de la cubierta(dos sábana) de los no-orientable de la superficie. Pero sólo puedo darle la construcción. La construcción es la siguiente: Denotar OM a ser la n-forma de paquete de la variedad M, donde n denota la dimensión de M. Ahora puedes comprobar que el grupo de positivos reales pueden actuar en este colector. Después de quotienting esta acción, se obtiene de la cubierta. Y como de la n-forma es unidimensional, por lo que, a continuación, usted tiene dos toldo que cubre.