¿Por qué hay una constante de integración?

Question

$\int (2x^2 +1)dx = \dfrac{2}{3}x^3 + x +C$.

Este es un sencillo integral, y como todos ustedes saben, la respuesta a una integral siempre tendrá un '$+C$' al final, la constante de integración.

¿Por qué está ahí?

Answer 1

Una manera de ver esto es que una integral indefinida $\int f$ pide una solución para la ecuación diferencial $F'(x)=f(x)$. Es decir, la función $f(x)$ es dado y usted está buscando una función de $F(x)$ tal que $F'(x)=f(x)$. Ahora, puede ser que una solución no existe, pero si la solución no existe, decir $G(x)$ se encuentra tal que $G'(X)=f(x)$, entonces para cualquier constante $C$, la función de $G(x)+c$ es también una solución de (sólo calcular la derivada a ver que).

De modo que la existencia de una única solución implica la existencia de una infinidad de soluciones. No hay ninguna razón para preferir uno sobre el otro, así que nos indican que toda la familia de la solución por (mágico) '+C'.

Cabe señalar que cualquiera de las dos soluciones de $F'(x)=f(x)$ difieren por una constante (para demostrar que considerar la diferencia entre dos soluciones, y tomar la derivada) de modo que la escritura (de la familia de soluciones como $F(x) + C$ muy precisamente le da todas las soluciones.

Answer 2

Además de las respuestas dadas anteriormente (con el cual estoy de acuerdo), he aquí otra, equivalente, aunque de forma ligeramente diferente a mirarlo.

El teorema fundamental del cálculo se indica cómo calcular la integral indefinida de una función en términos de los regulares de la integral definida: se fija un punto de $a$ e integrar hasta el punto de $x$. Es decir, con los métodos estándar de evaluación de integrales (utilizando el teorema fundamental de nuevo, o aproximar numéricamente, o sin embargo que se desea resolver ellos) $$\int_a^x f(t)dt = F(x)-F(a).$$

Sin embargo, aquí se ve inmediatamente que nuestra elección arbitraria de $a$ es manifiestamente presente en el resultado final de la integral indefinida. Desde $a$ es sólo un número, $F(a)$ también es una constante arbitraria. En ese sentido, se puede ver la integración constante, como una reliquia de la elección de un arbitrario puntos base en la definición de la integral indefinida.

Answer 3

$F'(x) = f(x)$ fib $(F + \mathrm{const}_C)'(x) = f(x)$. También, si $F'(x) - G'(x) = 0$,$F(x) - G(x) = \mathrm{const}$. Por lo tanto, si una función tiene una antiderivada, entonces el conjunto de antiderivatives de una función determinada, son exactamente $\{F(x) + C \ \vert \ C \in \mathbb{R}\}$ donde $F$ es uno de los antiderivatives.

Answer 4

La diferenciación de una constante es 0, por lo que una primitiva siempre se define a una constante. Dicho de otra manera, para cualquier valor de C, la diferenciación de F + constante le dará la espalda de la misma f para cualquier C.

Answer 5

Podemos encontrar la integral de una función $f(x)$ por la búsqueda de una función de $F(x)$ tal que $F'(x) = f(x)$. Por ejemplo, si nuestra función es $f(x) = x^2$ podemos saber rápidamente que la función de $F(x) = x^3/3$ ha derivado igual a $f(x)$. Sin embargo, $F(x) = x^3/3 + 5$ $F(x) = x^3/3 - \pi$ también han derivado igual a $f(x)$.

El "$+C$" está ahí porque la función de $F(x)$ no es una única respuesta a la pregunta que nos hemos planteado. Mediante la adición de la general "$+C$", podemos formalmente escribir lo que toda clase de soluciones.