Aquí está una manera rápida de conseguir otra fórmula (de clases) para el doble de la raíz.
Una doble raíz de un polinomio P(x) también es una raíz de la derivada, P'(x). Así que si x es el doble de la raíz de la depresión del cuadrática P(x)=x^4+qx^2+rx+s, luego
\begin{align}
x^4+qx^2+rx+s&=0\\
4x^3+2qx+r&=0
\end{align}
Multiplicando la primera ecuación por 4 y restando la segunda multiplicada por x deja
2qx^2+3rx+4s=0
por lo x es una de las dos raíces de esta ecuación cuadrática, es decir,
x={-3r+\sqrt{9r^2-32qs}\over4q}\quad\text{or}\quad x={-3r-\sqrt{9r^2-32qs}\over4q}
Lo que queda claro, al menos para mí, es cómo decirle (por adelantado, sólo a partir de los coeficientes q, r, y s) que la expresión a utilizar para un determinado deprimido polinomio. Para dar un ejemplo, supongamos P(x)=(x-1)^2(x^2+2x-1)=x^4-4x^2+4x-1. Entonces
x={-12\pm\sqrt{144-128}\over-16}={-12\pm4\over-16}
y el -4 da la respuesta correcta. Por otro lado, si P(x)=(x+1)^2(x^2-2x-1)=x^4-4x^2-4x-1, luego
x={12\pm\sqrt{144-128}\over-16}={12\pm4\over-16}
y el +4 da la respuesta correcta.