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El conocimiento de una cuártica tiene una doble raíz, ¿cómo encontrarlo?

Tengo una depresión de cuarto grado polinomio con tres parámetros libres en los números reales:

x4+qx2+rx+s

Además, el discriminante es restringida a ser cero y hay cuatro raíces reales, exactamente dos de los cuales son iguales. Sólo estoy interesado en el doble de la raíz.

Wikipedia tiene la solución general. Sin embargo, hay una fórmula más simple para este caso especial?

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alvaroc Puntos 43

Sí, los hay. Usted sabe que sus raíces (incluyendo multiplicidades) puede ser expresado como {a,a,a+δ,aδ} (porque la suma es cero después de la normalización). Ampliar

(xa)2(x+aδ)(x+a+δ)=x4(2a2+δ2)x2+2aδ2x+a4δ2a2

y comparar con su forma. Siguiente, tenga en cuenta que las ecuaciones

(2a2+δ2)=qa4δ2a2=s

puede ser expresado mediante

A=a2,D=δ2

y que sólo conducen a una ecuación cuadrática para A. Es fácil a partir de ahí. Obtendrás a2, pero el signo de a se correlaciona con el signo del término lineal (que de otro modo sólo contiene factores de un 2 y un cuadrado).

En general:

\bbox[7px,border:2px solid]{a = (\mathop{\rm sgn} r)\cdot \sqrt{\frac{-q \pm \sqrt{q^2 + 12s}}6}}\ .

El signo dentro de la raíz cuadrada debe ser elegido de modo que 2aD = -2a(q+2a^2) = r. Para s > 0 + garantiza una real a pero si s < 0, en tanto los indicios conducen a una solución real y uno de ellos corresponde a una cuártica con diferentes r.

Ejemplo:

\begin{aligned} p(x) &= x^4 - 19x^2 + 6x + 72 \\ ⇒ 2A + D &= 19 \\ A^2 - AD &= 72 \\ ⇒ A^2 - A(19-2A) = 3A^2 - 19A &= 72 \\ ⇒ A &= \frac{19 \pm \sqrt{1225}}{6} = \frac{19 \pm 35}6, \quad D = 19-2A \\ A ≥ 0 ⇒ A &= 9, \quad D = 1 \\ ⇒ a &= 3, d = 1 ⇒ p(x) = (x-3)^2 (x+2) (x+4) \end{aligned}

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Drealmer Puntos 2284

Cuando un polinomio f(x) tiene una doble raíz de \alpha, el factor de x-\alpha aparece en f(x) y en su derivado f'(x). Y por el contrario, cada factor común de f f' es un doble (o de orden superior) que se repite de la raíz. Por lo tanto, utilizando el algoritmo de Euclides para polinomios, aplicado a ff', le dirá a todos repetidos de raíces y sus multiplicidades (las multiplicidades son los correctos para cualquier campo no de la característica p>0... que, si no significa nada para ti, es casi seguro que es irrelevante para el tema aquí).

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rlpowell Puntos 126

Aquí está una manera rápida de conseguir otra fórmula (de clases) para el doble de la raíz.

Una doble raíz de un polinomio P(x) también es una raíz de la derivada, P'(x). Así que si x es el doble de la raíz de la depresión del cuadrática P(x)=x^4+qx^2+rx+s, luego

\begin{align} x^4+qx^2+rx+s&=0\\ 4x^3+2qx+r&=0 \end{align}

Multiplicando la primera ecuación por 4 y restando la segunda multiplicada por x deja

2qx^2+3rx+4s=0

por lo x es una de las dos raíces de esta ecuación cuadrática, es decir,

x={-3r+\sqrt{9r^2-32qs}\over4q}\quad\text{or}\quad x={-3r-\sqrt{9r^2-32qs}\over4q}

Lo que queda claro, al menos para mí, es cómo decirle (por adelantado, sólo a partir de los coeficientes q, r, y s) que la expresión a utilizar para un determinado deprimido polinomio. Para dar un ejemplo, supongamos P(x)=(x-1)^2(x^2+2x-1)=x^4-4x^2+4x-1. Entonces

x={-12\pm\sqrt{144-128}\over-16}={-12\pm4\over-16}

y el -4 da la respuesta correcta. Por otro lado, si P(x)=(x+1)^2(x^2-2x-1)=x^4-4x^2-4x-1, luego

x={12\pm\sqrt{144-128}\over-16}={12\pm4\over-16}

y el +4 da la respuesta correcta.

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