El área de un triángulo determinado por las bisectrices.

Question

¿Cómo puedo calcular el área de un triángulo determinado por el interior bisectrices? Lo que quiero decir es representada en la siguiente imagen:

$AQ$ es la bisectriz del ángulo $\angle BAC$, $BR$ -bisectriz de $\angle ABC$ $CP$ - bisectriz de $\angle ACB$. Ahora, debe calcula el área del triángulo $PQR$ sabiendo que $AB=c$, $BC=a$ y $CA=b$.

Traté de usar el teorema de la bisectriz de un ángulo para cada bisectrices, pero no he obtenido nada.

Gracias :)

Answer 1

Vamos a derivar la ecuación usando el hecho de que: $$A_{PQR}=A_{ABC}-A_{PBR}-A_{RCQ}-A_{QAP}, \quad (I)$$ Utilizando el teorema de la bisectriz de un ángulo, se obtiene: $$BP=\frac{ac}{a+b},\quad (1)$$ $$BR=\frac{ac}{b+c}, \quad (2)$$ $$CR=\frac{ab}{b+c},\quad (3)$$ $$CQ=\frac{ab}{a+c},\quad (4)$$ $$AQ=\frac{bc}{a+c},\quad (5)$$ y $$AP=\frac{bc}{a+b}. \quad (6)$$

Cada mencionada área se puede calcular mediante:

$$A_{PQR}=\frac{1}{2}ab\sin\gamma, \quad (7)$$ $$A_{PBR}=\frac{1}{2}BP\cdot BR\sin\beta, \quad (8)$$ $$A_{RCQ}=\frac{1}{2}CR\cdot CQ\sin\gamma, \quad (9)$$ y $$A_{QAP}=\frac{1}{2}AQ\cdot AP\sin\alpha. \quad (10)$$

Deje $R$ ser el circunradio, sabemos que: $$\sin \alpha = \frac{a}{2R}, \quad (11)$$ $$\sin \beta = \frac{b}{2R}, \quad (12)$$ $$\sin \gamma = \frac{c}{2R}, \quad (13)$$

Ahora si sustituimos todos los 13 de ecuaciones en la ecuación de $(I)$ obtenemos: $$A_{PQR}=\frac{1}{2} \cdot \frac{abc}{2R}-\frac{1}{2} \frac{a^2c^2b}{(a+b)(b+c)2R}-\frac{1}{2} \cdot \frac{a^2b^2c}{(b+c)(a+c)2R}-\frac{1}{2} \cdot \frac{b^2c^2a}{(a+b)(a+c)2R}, \Rightarrow$$

$$A_{PQR}=\frac{abc}{4R}[1-\frac{ac}{(a+b)(b+c)}-\frac{ab}{(b+c)(a+c)}-\frac{bc}{(a+b)(a+c)}], \Rightarrow$$

$$A_{PQR}=\frac{abc}{2R}[\frac{abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}], \Rightarrow$$ $$A_{PQR}=A_{ABC}[\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}]$$ Utilizando la fórmula de Heron hemos terminado.

Answer 2

Este triángulo tiene área $$\frac{2abc}{(a+b)(a+c)(b+c)}\cdot A,$$ where $Un$ is the area of the reference triangle with sides $a,b,c$. Es puede ser llamado el "Cevian triángulo" con respecto a la incentro $I$ de la referencia triángulo con lados de $a,b,c$, o el "incentral triángulo".

Referencia: http://mathworld.wolfram.com/IncentralTriangle.html

Esta otra referencia es Kimberling triángulo del centro de la página, una cosa enorme que describe un gran número de triángulo centros tales como el incentro, y en muchos casos el área de la cevian triángulo formado como hizo por las líneas de dibujo a través del centro de los vértices del triángulo de referencia para los lados opuestos. La referencia es http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html