Peso registrado de una cadena que cae

Question

Digamos que tengo una cadena metálica. Supongamos que sostengo una de sus puntas en mi mano y dejo que la cadena cuelgue libremente hacia abajo de forma que la otra punta toque una balanza. En este punto, con la cadena sostenida por mí, el peso registrado en la máquina será cero.

Pero una vez que suelte la cadena, ¿cómo cambiará la lectura de la máquina? ¿Será mostrará la misma lectura hasta el final (es decir, el peso total de la cadena) o sólo mostrará el peso de la parte de la cadena con la que está en contacto.

No creo que sea uno de esos problemas de "ascensor" ya que ahí, la báscula en sí NO se mueve.

Intuitivamente creo que el peso registrado aumentará, pero lo que me confunde es que si me paro en una balanza, mi cabeza no está tocando la balanza, de la misma manera que las diferentes partes de la cadena no están tocando la balanza al caer.

Answer 1

Respuesta "intuitiva":

El peso registrado en la báscula sería la suma de dos componentes. Un componente se debe a la acumulación de eslabones que han llegado a apoyarse en la báscula (o entre sí), y que aumentaría aproximadamente de forma escalonada a medida que cada eslabón sucesivo entra en contacto con la báscula. La otra componente se debe a la desaceleración del eslabón que llega en ese momento hasta detenerse; una vez que se haya detenido, ya no habrá fuerza de desaceleración, y pasará a formar parte del conjunto de eslabones acumulados en la primera componente. Una aproximación a esta componente de desaceleración sería un pico de fuerza (peso) cuando cada eslabón entra en contacto con la báscula (o conjunto de eslabones acumulados ya en reposo) y se detiene. Como no hay fuerza comunicada hacia arriba en la cadena, toda la parte que aún no está en reposo en la balanza caería con una aceleración de 1g. Esto significa que los primeros eslabones que se asienten en la balanza ejercerán una fuerza de desaceleración mínima sobre la misma al llegar al reposo, mientras que los últimos eslabones que caigan ejercerán una fuerza de desaceleración mayor, ya que habrán caído a través de una distancia más larga y habrán tenido más tiempo para acelerar a una velocidad mayor antes de encontrarse con la balanza (o con otros eslabones detenidos).

Así, un gráfico de la lectura de la escala podría aproximarse mediante una "escalera" de alturas de peldaños iguales superpuesta con un pico ascendente en el borde exterior de cada peldaño; los picos serían muy pequeños en la parte inferior, aumentando su amplitud en una progresión parabólica de peldaño en peldaño; toda esta vista estaría a su vez distorsionada de manera que el "recorrido" horizontal (dimensión temporal) de cada peldaño disminuiría en una progresión parabólica.

Answer 2

Utilizando el "teorema del momento $F\Delta t=\Delta p$ -（1）， y la balanza de pesaje (en el momento $t$ ) es el resultado de dos contribuciones:

Uno es el peso de la parte de la cadena que se encuentra sobre la máquina, que es igual a $\rho \frac{gt^2}{2}g$ -（2）, donde $\rho $ es la densidad de líneas de la cadena, $\frac{gt^2}{2}$ es la longitud de la parte mentirosa de la cadena con $g$ la aceleración de la gravedad.

La otra contribución proviene de la fuerza $\Delta F$ que actúa sobre la cadena que cae para detenerla. En concreto, imaginemos que en el momento $t$ el punto de contacto A en la cadena cambiará a B después de un intervalo de tiempo muy "pequeño $\Delta t$ y durante este progreso, la parte "pequeña" de la cadena (con longitud $v_t\Delta t$ , donde $v_t=gt$ es la velocidad del punto A en el momento $t$ ) que conecta A y B fue detenido por la fuerza $\Delta F$ que viene de la máquina. Así, aplicando la Ec.(1) a esta "pequeña" parte, tenemos $(\Delta F-\Delta m\cdot g)\Delta t=\Delta m\cdot v_t$ , donde $\Delta m=\rho \cdot v_t\Delta t$ es la masa de la parte "pequeña", entonces llegamos a $\Delta F=\rho v_t^2=\rho g^2t^2(\Delta t\rightarrow0)$ -（3）.

Por último, la balanza de pesaje (en el momento $t$ ) $=Eq.(2)+Eq.(3)=\frac{3}{2}\rho g^2t^2$ que es 3 veces de la Ec.(2)-el peso de la parte tendida de la cadena sobre la máquina.

Observación: Refiriéndome a lo que te confunde en tu último párrafo, una diferencia clave entre "te paras en la balanza" y "la parte diferente de la cadena de pie en la balanza" es que el primero es estático mientras que este último es moviéndose hacia abajo con la aceleración de la gravedad $g$ . Por lo tanto, volviendo a su pregunta, en cualquier momento $t$ la lectura de la balanza no dependerá de la longitud (por tanto de la masa) del parte de la caída de la cadena.