Para una variable aleatoria no negativa X, ¿cómo demostrar que $E(X^n)^{\frac1n}$ es no decreciente en el n?
Respuesta
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Escribir $p$ en lugar de $n$ a destacar puede ser cualquier número real positivo, en lugar de un número entero como sugiere "$n$".
Vamos a ir a través de algunos norma preliminar transformaciones para simplificar los cálculos subsiguientes. No hace ninguna diferencia para el resultado que reescalar $X$. El resultado es trivial si $X$ es casi en todas partes de cero, por lo que asumen $\mathbb{E}(X)$ es distinto de cero, de donde $\mathbb{E}(X^p)$ también es distinto de cero para todos los $p$. Ahora fix $p$ y se dividen $X$$\mathbb{E}(X^p)^{1/p}$, de modo que $$\mathbb{E}(X^p) = 1\tag{1},$$, sin pérdida de generalidad.
He aquí cómo el razonamiento podría proceder cuando usted está intentando calcular hacia fuera la primera vez y no está tratando de no trabajar demasiado duro. Voy a dejar justificaciones detalladas de cada paso.
La expresión $\mathbb{E}(X^p)^{1/p}$ es no decreciente si y sólo si su logaritmo es no decreciente. Ese registro es derivable y por lo tanto es no decreciente si y sólo si su derivada es no negativo. La explotación de $(1)$ podemos calcular (diferenciando dentro de la expectativa) de este derivado como
$$\frac{d}{dp}\log\left( \mathbb{E}(X^p)^{1/p} \right) = -\frac{1}{p^2}\log\mathbb{E}(X^p) + \frac{\mathbb{E}(X^p \log X)}{\mathbb{E}(X^p)} = \frac{1}{p}\mathbb{E}(X^p \log(X^p)).$$
Escrito $Y=X^p$, el lado derecho no es negativo si y sólo si $$\mathbb{E}(Y\log(Y)) \ge 0.$$ But this is an immediate consequence of Jensen's Inequality applied to the function $f(y) = y\log(y)$ (continuous on the nonnegative reals and differentiable on the positive reals), because differentiating twice shows $$f^{\prime\prime}(y) = \frac{1}{y}\gt 0$$ for $y\gt 0$, whence $f$ es una función convexa en la no-negativos reales, produciendo
$$\mathbb{E}(Y \log Y) = \mathbb{E}(f(Y)) \ge f\left(\mathbb{E}(Y)\right) = f(1) = 0,$$
QED.
