Topología de la recta tangente paquete de un buen colector de

Question

Estoy teniendo problemas para entender lo que la topología es dado a la tangente del paquete de un buen colector que permite un suave colector de sí mismo. A mi entender, entre otras cosas, la topología debe ser el segundo contables y Hausdorff. La definición de la tangente bundle $TM$ de un buen colector $M$ estoy usando es

$TM = \bigsqcup_{p\in M} T_pM$,

que es distinto de la unión de todos los $T_pM$ donde $T_pM$ es el espacio de la tangente en $p$ que consta de todas las derivaciones en $p$. Ya que no hay más especificaciones sobre lo que la topología de este espacio está dada supongo tomamos el natural distinto de la unión de la topología.

Sin embargo, en ese caso, no parece que $TM$ no es segundo contable, porque entonces cada conjunto $(O,p)$ donde $O$ es un subconjunto abierto de $T_pM$ abierto y discontinuo de cualquier $(O,q)$$q \neq p$. Así que a menos $M$ es contable, habría un número incontable de distintos bloques abiertos que contradice la segunda countability.

La única alternativa que se me ocurre es usar la natural suave estructura de $TM$ como la topología. Que es para cada subconjunto abierto $O$ $M$ el abierto de conjuntos de $TM$ se definen como $\pi^{-1}(O)$ donde $\pi$ es la natural proyección de $TM \rightarrow M$. Pero, a continuación, $TM$ no puede ser Hausdorff, desde cualquiera de los dos elementos de la misma fibra de $\pi$ podría no ser separados por bloques abiertos.

En conclusión, en ambos casos $TM$ podría no ser un colector, así que me debe faltar algo muy obvio. Por lo tanto, realmente apreciaría si alguien podría señalar mis errores.

Answer 1

Tomar algunas atlas en $M$, y deje $U$ ser un elemento de esa atlas. A continuación, $TU=\pi^{-1}(U) \cong U \times \mathbb{R}^n$ como un conjunto, por lo que hereda una topología. Por otra parte, todas estas topologías (para diferentes $U$) son compatibles el uno con el otro, así que juntos dan una topología en el espacio total $TM$.

Tenga en cuenta que esta es muy parecida a la de su segunda idea, excepto que no se requiere abrir los conjuntos contienen toda fibras de $\pi^{-1}(x)$ -- acaba de abrir subconjuntos de ellos.

Answer 2

Se dará $TM$ una topología y una compleja estructura de la siguiente manera. Supongamos que $\varphi\colon U\subseteq M\to V\subseteq\mathbb{R}^n$ es un local gráfico de $M$. Deje $x_1,\ldots, x_n$ la correspondiente a coordinar funciones, es decir, $\varphi(p) =(x_1(p),\ldots, x_n(p))$. A continuación, obtener una bijective mapa de $\pi^{-1}(U)\to V\times \mathbb{R}^n$ dada por $$\left(p, \sum_{i=1}^n\lambda_i\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_p\right)\mapsto (\varphi(p), (\lambda_1,\ldots, \lambda_n)).$$ The topology on $\pi^{-1}(U)$ is defined by pulling back the topology on $V\times \mathbb{R}^n$. Moreover, this map $\pi^{-1}(U)\V\times\mathbb{R}^n$ is a chart map for the manifold $TM$. You must check, of course, that if you choose different charts $\varphi$, esto no cambia la topología o el colector de la estructura.

Answer 3

Tal vez una perspectiva más amplia, sería útil.

Deje $F$ $B$ ser espacios topológicos, con una cubierta abierta $\{U_\alpha\}$ $B$ y la continua transición de las funciones de $\theta_{\alpha\beta}:U_\alpha\cap U_\beta\to \operatorname{Aut}(F)$ sobre el vacío de las intersecciones de los conjuntos en la apertura de la tapa, que cumplan las condiciones que, siempre, $\theta_{\alpha\beta} = \theta_{\beta\alpha}^{-1}$, $\theta_{\alpha\alpha} = 1$, y $\theta_{\alpha\beta}\theta_{\beta\gamma} = \theta_{\alpha\gamma}$.

Estos datos son exactamente lo que necesitamos para armar un haz de fibras con fibra de $F$ y base $B$. Hacemos esto en la siguiente construcción. Una de las consecuencias de la construcción es la penetración en la topología del espacio total del haz de fibras.

La prospectiva paquete de atlas se compone de los posibles paquete como banalizaciones $\{U_\alpha\times F\}$, indexado por la apertura de la tapa de $B$. Ahora definir $$E = \bigg(\coprod_\alpha U_\alpha\times F\bigg)/\sim,$$ donde $(x,f)\sim (y,g)$ si y sólo si $x=y\in U_\alpha\cap U_\beta$$\theta_{\alpha\beta}(x)f = g$. (Tenga en cuenta que la topología de cada componente de la inconexión de la unión es sólo el producto de la topología.)

Si bien es un ejercicio (a la izquierda) para comprobar que esta es, de hecho, el espacio total de un haz de fibras, la idea debe ser lo suficientemente claro: hemos tomado el localmente trivial barrios y pegado junto con el conocimiento de cómo se transforman el uno en el otro. Ahora vemos que la topología del espacio total es simplemente el cociente de la topología.

Esta construcción abarca todos los topológica de los haces de fibras. Para construir suave haces de fibras, reemplazar "continuo" por "smooth" y "espacio topológico" por "suave colector." Niza ejemplos incluyen (pero no están limitados a):

• el Hopf fibrations $\mathbb{S}^1\to\mathbb{S}^{2n+1}\to\mathbb{C}P^n$, $\mathbb{S}^3\to\mathbb{S}^{4n+3}\to\mathbb{H}P^n$;
• simétrica y espacios homogéneos, tales como la fibration $SO(n)\to SO(n+1)\to\mathbb{S}^n$;
• Seifert fibrado espacios y superficie de paquetes en $3$-colector de la teoría; y
• todos los reales y complejos vector de paquetes, tales como $TM$, $T^*M$, el exterior de haces de $\Lambda^k(M)$, y el tensor de paquetes de $\mathcal{T}^r_s(M)$, para un buen colector $M$.

En el caso particular de tu pregunta, tenemos $F = \mathbb{R}^n$, la transición de las funciones de mapas $U_\alpha\cap U_\beta \to Gl(n;\mathbb{R})$, y la topología se da a nivel local por el producto de la topología en $U\alpha\times\mathbb{R}^n$. La "compatibilidad" que se menciona en el de Micah respuesta, y la verificación de froggie sugiere, son sólo la verificación de que la topología en $TM$ es el cociente de la topología en mi definición anterior.

Answer 4

Voy a exponer la construcción de la topología en $TM$ que me gusta más. No voy a llenar en los detalles, pero voy a añadir una referencia más adelante que se ha de completar las pruebas.

Definición: Dejar $(U, \phi)$ ser un local gráfico de $M$. Definimos $$\phi_{TM}:\pi^{-1}(U)\longrightarrow \phi(U)\times \mathbb R^n, v\longmapsto ((\phi\circ \pi)(v), d\phi_{\pi(v)}(v)).$$

El mapa de $\phi_{TM}$ es bijective y vamos a usar esto para inducir una topología en $TM$.

Deje $\mathfrak{A}$ ser un suave atlas de las $M$. Definir: $$\mathscr{T}_{TM}:=\{W\subseteq TM: \phi_{TM}(W\cap \pi^{-1}(U))\ \textrm{is open in}\ \mathbb R^n\times \mathbb R^n\ \forall\ (U, \phi)\in\mathfrak{A}\}.$$

Ejercicio 1. Mostrar esto es una topología de Hausdorff y tiene una contables base de bloques abiertos y todos los mapas $\phi_{TM}$ son homeomorphisms.

Para terminar, la suave estructura en $TM$ será dada por el atlas $$\mathfrak{A}_{TM}:=\{(\phi_{TM}, \pi^{-1}(U)): (U, \phi)\in \mathfrak{A}\}.$$

Usted puede comprobar esta topología, se enciende la proyección canónica $\pi:TM\longrightarrow M$ en un buen mapa, esto no es difícil de ver para cuando el uso de gráficos que usted conseguirá un mapa que es una proyección de entre abrir conjuntos de $\mathbb R^n$.

Ejercicio 2. Hemos hecho una elección de un atlas $\mathfrak{A}$ para la definición de la topología de $TM$ y su buena estructura. ¿Qué pasaría si se había iniciado con diferentes suave atlas en $M$?