Por qué es más precisa para evaluar $x^2-y^2$ $(x+y)(x-y)$ en punto flotante sistema?

Question

La expresión $x^2-y^2$ exposiciones catastróficas cancelación si $|x|\approx|y|$. Por qué es más precisa para evaluar como $(x+y)(x-y)$ en punto flotante del sistema (como IEEE 754)? Veo que esto es intuitivamente cierto. Cualquiera puede ayudar a mostrar un ejemplo al $|x|\approx|y|$? Y es que hay alguno (o cómo se escriba) una prueba formal de la reclamación?

Una detallada explicación sería muy apreciada! Gracias!

Answer 1

Los errores son $$ fl(fl(x^2)-fl(y^2))=(x^2(1+δ_1)-y^2(1+δ_2))(1+δ_3) \\ =(x^2-y^2)+x^2δ_1-y^2δ_2+(x^2-y^2)δ_3+\text{los términos de orden superior} $$ que tiene como primer orden de límite superior $2\max(x^2,y^2)\mu$, y $$ fl(fl(x+y)fl(x-y))=((x+y)(1+δ_1)(x-y)(1+δ_2))(1+δ_3) $$ donde el límite superior de la primera orden de los términos es $3 |x^2-y^2| μ$.

Answer 2

Supongo que la respuesta es al $x$ $y$ son grandes, $x^2$ $y^2$ son mayores. Si son del mismo orden de magnitud, a continuación, cuando se considera la evaluación de $x^2 - y^2$ están sacando dos de los grandes números y el redondear error será mayor que si usted escribe es $(x + y) (x - y)$. Para $x \approx y$, el segundo enfoque da $\approx 2x \times (x-y)$. Espero que ayude.