Binomio depende de Poisson

Question

He estado trabajando en un problema con un binomio de rv depende de poisson rv y han trabajado a través de este punto:

$P(X=x) = \sum_{n=x}^{\infty} \dfrac{n!}{x!(n-x)!} p^x(1−p)^{n−x} \dfrac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}$

Podría alguien me guía a través de un próximo paso?

Answer 1

Lo que usted necesita es una transformación simple: Vamos a $j=n−x$. Entonces

$P(X=x) = \sum_{j=0}^{\infty} p^x(1−p)^j \dfrac{\lambda^{x+j} e^{-\lambda}}{x!j!}$

Y proceder. Sugerencia: tire de la "x" de los términos. recuerdo similar de algún lugar...

Answer 2

Ver el comentario de André (al final $\frac{\lambda^{n}e^{-\lambda}}{n!}$ en lugar de $\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}$).

Deje $N,X_{1},X_{2},\dots$ ser independiente de la rv con $N\sim$ Poisson$\left(\lambda\right)$ y $X_{i}\sim$ Bernouilli$\left(p\right)$.

Ahora defina $X:=X_{1}+\cdots+X_{N}$.

Tenga en cuenta que $X\sim$ Binom$\left(n,p\right)$ bajo condición de $N=n$. Si $q:=1-p$, entonces:

$$P\left\{ X=x\right\} =\sum_{n=x}^{\infty}P\left\{ X=x\mid N=n\right\} P\left\{ N=n\right\} =\sum_{n=x}^{\infty}\binom{n}{x}p^{x}q^{n-x}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{n}}{n!}=$$

$$e^{-\lambda}\frac{p^{x}\lambda^{x}}{x!}\sum_{n=x}^{\infty}\frac{q^{n-x}\lambda^{n-x}}{\left(n-x\right)!}=e^{-p\lambda}\frac{\left(p\lambda\right)^{x}}{x!}$$

(La última igualdad debido a: $\sum_{n=x}^{\infty}\frac{q^{n-x}\lambda^{n-x}}{\left(n-x\right)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n}\lambda^{n}}{n!}=e^{q\lambda}$)

Por Lo $X\sim$ Poisson$\left(\lambda p\right)$.