Una pregunta en Hawai pendiente

Question

Considerar la pendiente de Hawai. Supongamos $f_n$'s son los lazos de representación de los círculos de radio $1/n$ centrada en$(1/n, 0)$$n=1,2\cdots$. Suponga que el siguiente tiene en el grupo fundamental de la

$$\langle [f_1, f_2][f_3, f_4]\cdots\rangle = \langle [g_1, g_2]\cdots [g_{2k-1},g_{2k}]\rangle $$ para algunos bucles $g_1,g_2,\ldots , g_{2k}$, donde $\langle\cdot\rangle$ denota la homotopy clase y $[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$ denota el colector. Entonces podemos decir que $$\langle [f_1, f_2]\cdots [f_{2n-1}, f_{2n}]\rangle = \langle [g_1, g_2]\cdots [g_{2k-1},g_{2k}]\rangle$$ para todos lo suficientemente grande $n$ u $n>k$ ?

He tenido esta pregunta, mientras yo estaba leyendo el periódico de aquí (consulte la página 76, último párrafo), donde los de arriba se ha mencionado (en alguna otra forma equivalente) sin pruebas.

Answer 1

Yo no creo que es verdad...

observar que $f_i*f_j ^{-1}$ nunca es nula homotópica iff $i \neq j$... dicen: si $h\in <[f_1,f_2]*...[f_{2k-1},f_{2k}]...>$ $h$ que pasa a través del origen infinitamente muchas veces...supongamos que no, entonces el bucle $ f= [f_1,f_2]*...[f_{2k-1},f_{2k}]...$ es homotópica a $h$...en el barrio $f$ no está en su forma reducida, pero esto contradice nuestro 1er observación.

si asumo $g= [g_1,g_2]*...[g_{2k-1},g_{2k}]$, por el 1 de definiotion de $g$ es claro que $g$ que pasa por el origen infinitamente muchas veces...por otro lado, si la 2ª expresión es true, entonces la $g=[f_1,f_2]*...[f_{2k-1},f_{2k}]$ este bucle sólo puede pasar por origen un número finito de veces...aquí estoy eligiendo un buen bucle como un Representante de $g$