Elementos de orden tres en $GL_3(2)$

Question

¿Cómo ir sobre la búsqueda de elementos de orden 3 en $GL_3(2)$? Actualmente estoy tratando de demostrar que el automorphism grupo de Klein 4-grupo inducida por la conjugación en $GL_3(2)$ es isomorfo a$S_3$, por lo que estoy tratando de encontrar un elemento de la normalización con el fin de a tres en el fin de mostrar a la conclusión deseada. Pero estoy luchando por encontrar ese elemento. Cualquier ayuda (incluso otro método podría ser capaz de utilizar) sería muy apreciada.

La específica klein-4 grupo con el que estoy trabajando es la generada por $\bigl(\begin{smallmatrix} 1&0&1 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{smallmatrix} \bigr)$ y $\bigl(\begin{smallmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1 \end{smallmatrix} \bigr)$

Answer 1

Por lo que necesita para elegir un elemento que parece $$\left( \begin{array}{cr} A & 0\\ 0\ \ \ 0 & 1\end{array} \right)$$ donde $A$ es cualquier elemento de orden $3$${\rm GL}(2,2)$.

Answer 2

Considere la posibilidad de la acción de dos de sus matrices en el 7 distinto de cero vectores columna. Cada una de las revisiones de 3 vectores, y los intercambios de dos pares de vectores. Por lo $V$ actos trivialmente en 3 vectores y los actos de los otros 4.

Por ejemplo, $\pmatrix{1&0&1\\0&1&0\\0&0&1}\pmatrix{1\\0\\0}=\pmatrix{1\\0\\0}$ muestra que ese elemento en $V$ revisiones de dicho vector.

Un elemento de orden 3 que normaliza su grupo V debe fijar uno de los 4 vectores movido por V y rotar los otros 3, como es el normalizador de la $V$ $S_4$ en 4 puntos. Esto debería ser suficiente información explícita de encontrar un elemento de orden 3. Una tal matriz es \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}