Cuántos $N$ de la forma $2^n$ son tales que ningún dígito es una potencia de $2$ ?

Question

Cuántos $N$ de la forma $2^n,\text{ with } n \in \mathbb{N}$ son tales que no dígito es un poder de $2$ ?

Para esta la respuesta dada es la $2^{16}$ pero ¿cómo podemos demostrar que ésta es la única solución posible? y ¿qué pasa con el caso general de $x^n, \text{ with } x,n \in \mathbb{N}$ ?

Answer 1

Definir el aceptable dígitos sean 0, 3, 5, 6, 7 y 9; y definir el puntuación de un número $n$ para ser el número de dígitos finales aceptables en la expansión decimal de $n$ (sin ceros a la izquierda). Así, por ejemplo, 65536 tiene una puntuación de 5, y $2^{96} = 79228162514264337593543950336$ tiene una puntuación de 7 (y esta es la menor potencia de $2$ con una puntuación superior a 5).

Hice una búsqueda por ordenador de las potencias de alta puntuación de $2$ hasta $2^{332192}$ (es decir, los que tienen menos de 100000 dígitos decimales). La puntuación más alta fue $2^{57072}$ con una puntuación de sólo 25 (termina con ...40535076966633036050333696).

Así que su conjetura es plausible, pero parece una de esas cosas que podrían ser muy difíciles de probar.