El disparo de la máquina de la pregunta

Question

Supongamos que tenemos un pelotón de la máquina sobre una superficie sin fricción en el punto de $x=0$. Se dispara una bala de masa $m$ $T$ segundos. Cada bala tiene la misma velocidad constante $v_0$. Hay un cuerpo de masa $pm$ ($p$ veces mayor que la de la bala de masa) en el punto de $x=x_0$. Sé que, de acuerdo a la ley de conservación del momento (colisión inelástica) que la velocidad del cuerpo como una función de las balas en el interior de la misma será: $v(n)=\frac{v_0 n}{n+p}$.

¿Cómo puedo saber el tiempo transcurrido $\Delta t$ de la $n-1$ impacto de bala a $n$ impacto de bala? Hay alguna forma de solucionar esto sin una recursividad?

Lo que quiero decir por recursión es esta (la respuesta a la pregunta): $ \left\{ \begin{array}{l} a_1=\frac{x_0}{v_0}\\ a_n=a_{n-1}+ T \cdot \frac{{p-1+N}}{p} \end{array} \right. $

Esta serie representa el tiempo cuando enésima bala golpea el objeto. Yo no entiendo muy bien por qué $a_n-a_{n-1}= T \cdot \frac{{p-1+N}}{p}$.

Answer 1

Este problema tiene un recursiva sabor que vamos a tratar de no evitar.

La conservación del momento nos dice que $$m v_0 + (p+n-1)m v(n-1) = (p+n)m v(n).$$ La imposición de la condición de contorno $v(0)=0$ encontramos $$v(n) = \frac{n}{n+p}v_0$$ como se reivindica.

Deje $a_n$ ser el momento en el que el $n$th golpe de la bala se produce. Tenemos $a_1=x_0/v_0$ y $$\begin{equation*} v_0(a_n-(n-1)T) = v_0(a_{n-1}-(n-2)T) + v(n-1)(a_{n}-a_{n-1}) \end{ecuación*}$$ En palabras, la distancia entre el bloque y la pistola en el $n$th huelga es la distancia entre el bloque y la pistola en el $(n-1)$th huelga además de la distancia a la que el bloque se desplaza entre las huelgas. Reorganización encontramos $$a_n = a_{n-1} + \frac{p+n-1}{p} T$$ como se reivindica. Esta repetición puede ser resuelto mediante técnicas estándar. Nos encontramos $$a_n = \frac{x_0}{v_0} + \frac{(n-1)(n+2p)}{2p} T.$$ Como una comprobación de coherencia tomamos el límite donde el $p$ es grande. Entonces $$a_n \sim \frac{x_0}{v_0} + (n-1)T.$$ Este es el resultado que podemos esperar de las balas disparadas en un inmueble de la pared.

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Addendum: Deje $x_n^B$ $x_n^b$ ser la ubicación del bloque y la bala en el $n$th huelga, respectivamente. Tenga en cuenta que $x_n^B = x_n^b$ cualquier $n$. Tenemos $$\begin{eqnarray*} x_1^B &=& x_0 \\ x_1^b &=& v_0 a_1 \\ x_2^B &=& x_1^B + v(1)(a_2-a_1) \\ x_2^b &=& v_0(a_2-T) \\ x_3^B &=& x_2^B + v(2)(a_3-a_2) \\ x_3^b &=& v_0(a_3-2T) \\ &\vdots& \\ x_{n}^B &=& x_{n-1}^B + v(n-1)(a_{n}-a_{n-1}) \\ x_{n}^b &=& v_0(a_{n}-(n-1) T). \end{eqnarray*}$$ Intuitivamente, el bloque es donde estaba antes de la huelga, además de la distancia recorrida en la nueva velocidad antes de ser golpeado de nuevo. Las balas que se disparan cada $T$ segundos para que el $n$th bala es sólo en vuelo para la $a_n-(n-1)T$ segundos. Por lo tanto, hemos $$\begin{equation*} v_0(a_n-(n-1)T) = v_0(a_{n-1}-(n-2)T) + v(n-1)(a_{n}-a_{n-1}) \tag{1} \end{ecuación*}$$ y así $$\begin{equation*} v_0 (a_n - T) = v_0 a_{n-1} + v(n-1)(a_n - a_{n-1})\tag{2} \end{ecuación*}$$ como se reivindica. (Voy a reemplazar la ecuación en el original argumento anterior con (1) para mayor claridad.)