Mostrar que existe una no-constantes positivas entero secuencia $\{a_{n}\},a_{0}=1$ tal que $$\dfrac{a^2_{n}+a_{n}}{2}-\dfrac{a^2_{n-1}+a_{n-1}}{2},\forall n\in\mathbb{N}$$ es siempre un cuadrado perfecto.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Hagen von Eitzen
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fleablood
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$a_1 = 1$
$a_n = 3a_n + 1$.
[editar añadir] como por Hagen von Eitzen' respuesta: $a_n = (3^n -1)/2$
$a_1 = 1; 3a_{n -1} + 1 = 3(3^{n-1} - 1)/2 + 1 = (3^n -3)/2 + 1 = (3^n -1)/2$
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{1, 4, 13, 40,...}
Porque
$(a_n^2 + a_n)/2 = \sum_{i=1}^{a_n} i$
Por lo $(a_n^2 + a_n)/2 - (a_{n-1}^2 + a_{n-1})/2 = \sum_{i = a_{n-1}+1}^{a_n}i = (a_{n-1} + a_n + 1)/2 *(a_n - a_{n-1})$
Si $a_n = 3a_{n-1} + 1$$a_n - a_{n-1} = (a_{n-1} + a_n + 1)/2$, por lo que la diferencia es un cuadrado perfecto.