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¿La secuencia de siempre dar un cuadrado

Mostrar que existe una no-constantes positivas entero secuencia $\{a_{n}\},a_{0}=1$ tal que $$\dfrac{a^2_{n}+a_{n}}{2}-\dfrac{a^2_{n-1}+a_{n-1}}{2},\forall n\in\mathbb{N}$$ es siempre un cuadrado perfecto.

3voto

Hagen von Eitzen Puntos 171160

Deje $a_n=\frac{3^n-1}2$ (de hecho $a_1=\frac{3^1-1}2=1$). Entonces $$ \frac{a_n^2+a_n}2-\frac{a_{n-1}^2+a_{n-1}}2=\frac{3^{2n}-1}8-\frac{3^{2(n-1)}-1}8=3^{2(n-1)}=(3^{n-1})^2.$$

1voto

fleablood Puntos 5913

$a_1 = 1$

$a_n = 3a_n + 1$.

[editar añadir] como por Hagen von Eitzen' respuesta: $a_n = (3^n -1)/2$

$a_1 = 1; 3a_{n -1} + 1 = 3(3^{n-1} - 1)/2 + 1 = (3^n -3)/2 + 1 = (3^n -1)/2$

[editar/añadir]

{1, 4, 13, 40,...}

Porque

$(a_n^2 + a_n)/2 = \sum_{i=1}^{a_n} i$

Por lo $(a_n^2 + a_n)/2 - (a_{n-1}^2 + a_{n-1})/2 = \sum_{i = a_{n-1}+1}^{a_n}i = (a_{n-1} + a_n + 1)/2 *(a_n - a_{n-1})$

Si $a_n = 3a_{n-1} + 1$$a_n - a_{n-1} = (a_{n-1} + a_n + 1)/2$, por lo que la diferencia es un cuadrado perfecto.

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