Deje $M$ $N$ $A$- módulos, $\operatorname{Hom}_A(M,N)$ el conjunto de todos los $A$-módulo homomorphisms $M\rightarrow N$. $\operatorname{Hom}_A(M,N)$ puede verse como un subconjunto del producto cartesiano $\prod_{m\in M}N$. Pero no se requieren axioma de elección para $\prod_{m\in M}N$ a ser un conjunto? Existe una posibilidad de que $\operatorname{Hom}_A(M,N)$ puede ser un conjunto sin el axioma de elección?
Respuestas
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El hecho de que $\prod_{m\in M} N$ es un conjunto mantiene con independencia del Axioma de Elección. Un producto de una familia de conjuntos es siempre un conjunto de ZF, que no necesita de CA para que. Lo que el Axioma de Elección podría jugar un papel en hacer es decirle si el producto está vacía o no.
Sin embargo, en el caso de los módulos, usted puede probar que el producto no está vacía sin el Axioma de Elección. Esto, debido a que los módulos tienen un distinguido elemento (el elemento cero), así que si $\{N_i\}_{i\in I}$ es un vacío de la familia de módulos, a continuación, $\prod_{i\in I}N_i$ es necesariamente vacío: contiene la función de $f\colon I\to \cup N_i$ $f(i)=0$ todos los $i$.
Por otra parte, incluso para conjuntos, uno puede mostrar que cualquier potencia de un conjunto no vacío es vacío sin el Axioma de Elección. Es decir, si $A$ es un conjunto no vacío y $I$ es un conjunto no vacío, entonces $\prod_{i\in I}A\neq\emptyset$ mantiene en ZF, incluso sin elección: desde $A$ es no vacío, no existe $a\in A$; definir $f\colon I\to A$ $f(i)=a$ todos los $i$, y esto demuestra que el producto es no vacío.
Y por lo $\mathrm{Hom}_A(M,N)$ es un conjunto, independientemente de cualquier otra cosa; y por otra parte, es demostrablemente no vacío, ya que la función $f\colon M\to N$ $f(m)=0$ todos los $m$ se encuentra en el conjunto.
DanV
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Suponiendo que la teoría de conjuntos ZF, es un conjunto.
Desde $M$ es un conjunto y $N$ es un conjunto, tenemos que $f\colon M\to N$ es un subconjunto de a $\mathcal P(M\times N)$. La última, es un conjunto por el axioma del poder establecido.
Ahora podemos definir (el uso de $A$ como parámetro, por supuesto) de todos los mapas que tiene una cierta propiedad, y por el axioma esquema de sustitución (o subconjunto, si quieres) es de hecho un conjunto.
Sin el axioma de elección, sin embargo, el producto puede estar vacío. El conjunto vacío, sin embargo, todavía es un conjunto. Aunque en estructuras algebraicas no es a menudo el caso, ya que los $m\mapsto 0_N$ es un homomorphism, y ciertamente existe.
