Quiero considerar la suma $$\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n}\frac{x^{s(\sigma)}}{|\sigma|}$$ donde $x$ es un número real, $s(\sigma)$ es el número de ciclos de $\sigma$ $|\sigma|$ es el producto de las longitudes de los ciclos de $\sigma$. Será posible tener una fórmula exacta o una generación de series de este número al $n$ rangos?
Respuesta
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La exponencial de la fórmula nos dice que la OGF del ciclo de índice $Z(S_n)$ del grupo simétrico está dada por
$A$Z(S_n) = [w^n] \exp\left(\sum_{l\ge 1} a_l \frac{w^l}{l}\right).$$
En el presente caso estamos evaluando en$a_l = x/l$, por lo que obtenemos para $P_n(x)$ el polinomio en cuestión
$$P_n(x) = n! [w^n] \exp\left(\sum_{l\ge 1} x \frac{w^l}{l^2}\right) = n! [w^n] \exp(x\mathrm{Li}_2(w)).$$
Este es un FEAG para $P_n(x).$
Para computacional podemos utilizar la repetición por el Lovasz de la ciclo de índice $Z(S_n)$ que los rendimientos (complejidad de la función de partición en lugar de factorial)
$A$Z(S_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_l Z(S_{n-l}) \quad\text{donde}\quad Z(S_0) = 1.$$
Obtenemos $P_n(x)$ que
$$P_n(x) = (n-1)! \sum_{i=1}^n \frac{x}{l} \frac{P_{n-l}(x)}{(n-l)!} \quad\text{donde}\quad P_0(x) = 1.$$
Este rendimientos por ejemplo,
$$P_5(x) = {x}^{5}+5\,{x}^{4}+{\frac {125\,{x}^{3}}{12}} +{\frac {65\,{x}^{2}}{6}}+{\frac {24\,x}{5}}$$
y
$$P_6(x) = {x}^{6}+15/2\,{x}^{5}+{\frac {295\,{x}^{4}}{12}} +{\frac {355\,{x}^{3}}{8}}+{\frac {8009\,{x}^{2}}{180}}+20\,x.$$
También tenemos que los coeficientes de $P_n(x)$ están dadas por
$$[x^k] P_n(x) = \frac{n!}{k!} [w^n] \left(\sum_{i=1}^n \frac{w^l}{l^2}\right)^k.$$
