Esta igualdad $\lim_{x \to \infty} \int_0^x \frac{t^2}{2(e^t-1)}\mathrm{d}t=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3}$ verdad?

Question

El uso de un pequeño programa en Python, se ve la verdadera para al menos dos de los cientos de dígitos después de la coma, pero no tengo absolutamente ninguna idea de cómo comenzar. Cualquier sugerencia debe apreciar.

$$\lim_{x \to \infty} \int_0^x \frac{t^2}{2(e^t-1)}\mathrm{d}t=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3}$$

No parece muy difícil, he intentado una integración por parte, pero no parece ser la mejor manera de calcular. Estoy atascado allí.

Yo debería estar contento, gracias de antemano!

Answer 1

Esto puede ser más de un comentario largo que una respuesta.

En un espíritu similar a Winther comentarios, podría ser de interés para usted a saber que, utilizando polylogarithms y sus propiedades, $$\int \frac{t^2}{2(e^t-1)}\,{dt}=t \text{Li}_2\left(e^t\right)-\text{Li}_3\left(e^t\right)-\frac{1}{6} t^2 \left(t-3 \log \left(1-e^t\right)\right)$$ So,$$\int_0^x \frac{t^2}{2(e^t-1)}\,{dt}=x \text{Li}_2\left(e^x\right)-\text{Li}_3\left(e^x\right)-\frac{1}{6} x^2 \left(x-3 \log \left(1-e^x\right)\right)+\zeta (3)$$ and, if $x\to \infty$, the only term left is $\zeta (3)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3}$.