Supongamos $F$ es un valor real y integrable con respecto a $2$-dimensional de la medida de Lebesgue en $[0, 1]^2$ y$$\int_0^{x_0} \int_0^{y_0} F(x, y)\,dy\,dx= 0$$for all $x_0 \en [0, 1]$ and $y_0 \en [0, 1]$. Does it follow that $F = 0$ en casi todas partes?
Respuesta
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Defina los siguientes firmado medida \begin{align} \nu(A) = \int_A F\ d\mu \end{align} que uno puede comprobar que es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue $d\mu=dxdy$ desde $\mu(A) = 0$ implica $\nu(A)=0$.
Desde $\nu(A) = 0$ en todos los rectángulos de $[0, 1]^2$, luego, por extensión, podemos ver que $\nu(A) = 0$ para todos los subconjuntos de Borel $[0, 1]^2$, es decir, efectivamente $\nu$ es el cero de la medida.
Siguiente, por Radon-Nikodym teorema, sabemos que existe una única función medible $F$ tal que \begin{align} \frac{d\nu}{d\mu}= F. \end{align} Entonces lo que sigue es $F=0$.e. ya que ambos generan la misma medida cero.
