Sospecho que existe una secuencia de funciones de $f_n : [0,1] \to \mathbb{R}$ s.t $f_n$ converge uniformemente a $f$, $f_n$ Darboux, sino $f$ no Darboux. Sin embargo, no he encontrado ningún ejemplo. ¿Cuáles son algunos ejemplos?
Respuesta
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Nos deja denotar $f$ los Conway base 13 de la función, definida en $[0,1]$, que es una función de Darboux y los mapas de cada intervalo de a $\mathbb{R}$.
Por lo tanto, $f^{-1}(\{0\})$ es denso en $[0,1]$. Ahora tomamos $E = \{ a_k \mid k\in \mathbb{N} \}$ una contables subconjunto de $f^{-1}(\{0\})$ que es denso en $[0,1]$.
(para la construcción de $E$, se puede utilizar para todos racional $q \in [0,1]$, existe una secuencia $(\alpha_{q,n}) \in \big(f^{-1}(\{0\})\big)^{\mathbb{N}}$ converger hacia la racional $q$, y podemos definir $E$ como la unión de todos los $\alpha_{q,n}$. $E$ es, obviamente, densa, y es contable debido a $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ es contable)
$ $
La idea es ahora la construcción de la $(f_n)$ tal que $f_n^{-1}(\{0\})$ "encoge".
Con esto $E$, puede definir una secuencia de una función como la siguiente : para $n \in \mathbb{N}$, $f_n : [0,1] \longrightarrow\mathbb{R}$ y
$f_n\ \colon\ x\longmapsto\begin{cases} 2^{-k}&\text{if %#%#% for %#%#%}\\ 0&\text{si %#%#% for %#%#%}\\ 1&\text{if %#%#%} \\ f(x)&\text{otherwise} \end{casos}$
Usando ese $x=a_k\ $ es densa, $k\le n$ los mapas de cada intervalo de a $x=a_k\ $.
Por otra parte, la secuencia de $k>n$ converge a una función $x \in f^{-1}(\{0\})\backslash E$$E$. Por lo tanto, $f_n$ es una secuencia de Darboux funciones que converge uniformemente a $\mathbb{R}$.
Sin embargo, para todos los $(f_n)$ es denso en $F$, pero $||f_n-F||_{\infty} \leqslant \frac{1}{2^{n+1}}$ está vacía. Por lo tanto $(f_n)$ positivos y negativos de las imágenes, pero nunca se desvanece, y por lo tanto no es Darboux.
