Reducibilidad de polinomios módulo p

Question

¿Cómo se puede demostrar que $X^4-10X^2+1$ es reducible modulo cada primer p? Me las he arreglado para mostrar todos los números primos menos de 10, para los números primos mayores que 10 hemos $X^4+(p-10)X^2+1$. ¿Dónde puedo ir desde aquí?

Answer 1

Escribir

$$\begin{align} x^4-10x^2+1&=(x^2-1)^2-2(2x)^2\\ &=(x^2+1)^2-3(2x)^2\\ &=(x^2-5)^2-6\cdot 2^2 \end{align}$$

Ahora si $2$ es un residuo cuadrático $\pmod{p}$, entonces la identidad de la primera hace que nuestro polinomio de la diferencia de dos cuadrados.

Si $3$ es un residuo cuadrático $\pmod{p}$, la segunda identidad hace que nuestro polinomio de la diferencia de dos cuadrados.

Recuerde que

$$\begin{pmatrix}2\\p\\\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\p\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\p\\\end{pmatrix}$$

Así que si $2$ $3$ son no residuos cuadráticos $\pmod{p}$ $6$ es y la tercera identidad que hace que nuestro polinomio de la diferencia de dos cuadrados.

Answer 2

Convencerse de que la factorización debe ser en cuadráticas por lo que considerar un conjunto con coeficientes indeterminados, que se calculará. Ahora, si $2$ o $3$ son residuos cuadráticos módulo $p$, entonces usted debería ser capaz de calcular qué tal factorización debe ser. Un hecho de la escuela elemental a la teoría de números, ahora dice que si no $2$ ni $3$ eran residuos cuadráticos, a continuación, $6$ debe ser. Se puede calcular la factorización en este caso?

Answer 3

Una ruta diferente. El polinomio $p(x)=x^4-10x^2+1$ es en muchos un ejercicio construida como la mínima polinomio sobre $\Bbb{Q}$ del número de $\sqrt2+\sqrt3$. Por lo tanto, su ceros (en $\Bbb{R}$)$\pm\sqrt2\pm\sqrt3$.

Por lo tanto, la división de campo de la $p(x)$ $\Bbb{F}_p$ es recibido también como $\Bbb{F}_p[\sqrt2,\sqrt3]$. Porque hasta el isomorfismo hay un solo cuadrática extensión de $\Bbb{F}_p$, es decir,$\Bbb{F}_{p^2}$, vemos que, independientemente de la elección de $p$ tenemos $\sqrt2,\sqrt3\in\Bbb{F}_{p^2}$. Por lo tanto,$\pm\sqrt2\pm\sqrt3\in \Bbb{F}_{p^2}$. Por lo tanto su mínima polinomios sobre $\Bbb{F}_p$ son en la mayoría de los cuadrática. Los mínimos polinomios son necesariamente factores de $p(x)$ modulo $p$.