¿Cómo puedo mostrar:
$$\lim_{n \to \infty} \frac {\log{p_n}} {\log n} = 1$$
donde $p_n$ $n$th el primer número sin usar el Teorema de los números Primos?
Un poco de contexto: la razón por La que no puedo usar el PNT (o al menos en la forma que uno podría tratar de usar) es porque esta realidad es lo que estoy tratando de demostrar, o más bien, una cierta forma de teorema del número primo. El PNT estados que $\pi(n) \sim \frac n {\log n}$, es decir,
$$\lim_{n \to \infty} \frac {\pi(n) \log n } n = 1$$
donde $\pi(n)$ es la principal función de conteo.
Sustituyendo $n \to p_n$ uno:
$$\lim_{n \to \infty}\frac {n \log p_n} {p_n} = 1$$
Ahora me gustaría mostrar que $p_n \sim n \log n$, es decir,
$$\lim_{n \to \infty} \frac {n \log n } {p_n} = 1$$
que requiere la prueba que estoy pidiendo.
