Una norma en $\mathbb{R}^2$ tal que $\partial C$ es la unidad de la esfera?

Question

Supongamos que estamos en $\mathbb{R}^2$. Suponga que $C \subset \mathbb{R}^2$ es un convexo acotado barrio de el origen invariante por simetría central.

Deje $\partial C$ el valor del límite de $C$. Mi pregunta es :

Podemos encontrar una norma en $\mathbb{R}^2$ tal que $\partial C$ es la unidad de la esfera ? Por otra parte, es único?

Esta es la pregunta que surge después de la lectura de mi curso, pero no puedo encontrar un satisfactorio 'solución'.

Answer 1

$C$ es un convexo y equilibrada (simétrica) barrio de $0$. Ya que es un barrio de $0$, es absorbente, por lo tanto el funcional de Minkowski

$$\mu_C \colon x \mapsto \inf \left\{ t > 0 : x \in t\cdot C\right\}$$

de $C$ es finito en todas partes. Desde $C$ es convexa, es un sub-norma (subadditive, positiva homogénea, y no negativo), y desde $C$ es equilibrada, es un seminorm. Desde $C$ es acotado, $\mu_C$ es una norma.

Al abrir la unidad de la bola de $\mu_C$ es el interior de $C$, y la bola unidad cerrada de $\mu_C$ es el cierre de $C$, por lo tanto la unidad de la esfera de $\mu_C$ es el límite de $\partial C$$C$.

La singularidad de la siguiente manera, ya que una norma está determinada por su unidad de esfera.

Puede ser vale la pena señalar que no hay nada en el argumento de que es específico a $\mathbb{R}^2$ o, incluso, de lo finito-dimensionalidad. Para cualquier convexo, equilibrado y delimitada de vecindad $C$ $0$ en una normativa espacio de $E$, el funcional de Minkowski $\mu_C$ es una norma que es equivalente a la norma empezamos con ($\mu_C$ es continuo desde $C$ es un barrio de $0$, y la topología inducida por $\mu_C$ es al menos tan bien como el original ya que la $C$ es limitado), cuyo ámbito es $\partial C$.