Hausdorff-dimensiones y auto-similitud

Question

Mientras que la lectura en línea el día de hoy, me las arreglé para tropiece con una extraña afirmación, que no he sido capaz de encontrar o producir una prueba. El reclamo es que si $X$ es un subconjunto compacto de $\mathbb R^n$, la cual puede ser escrito como una discontinuo de la unión de algunos de los $X_i$ donde $X_i$ es isométrico a una dilatación de $X$ por una constante $c_i$, entonces la dimensión de Hausdorff tiene la propiedad de que $\sum c_i^d = 1$.

Sé que la definición de dimensión de Hausdorff, y he podido comprobar que esto es cierto para algunos ejemplos que conozco la parte superior de mi cabeza, es decir, conjuntos de Cantor en $\mathbb R$, Sierpinski fractales, etc. Pero no he sido capaz de llegar con una prueba.

Espero que no es un teorema, debido a que una búsqueda en google me dice que la más técnica de las versiones de este teorema se puede afirmar, con todo tipo de solapamiento de las condiciones en las $X_i$ y todo eso, pero nada de eso es necesario, así que de alguna manera creo que no debería ser difícil.. pero no puedo averiguar.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Supongamos por el momento que la $d$-dimensional medida de Hausdorff $X$ es finito y distinto de cero al $d$ es la dimensión de Hausdorff de $X$ (este no es necesariamente el caso, pero hace la prueba más difícil si no la asume. La idea es la misma, sin embargo.). Deje $\mu$ $d$- dimensional medida de Hausdorff. $\mu$ tiene la propiedad de escala que $\mu(cY) = c^d\mu(Y)$ donde $cY$ indica que la escala de la $Y$ por un factor de $c$. También tiene la propiedad de que $\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B)$ siempre $A$ $B$ son disjuntas (estoy hablando sólo acerca de $\mu$medible de conjuntos de aquí, por supuesto). Por lo $\mu(X) = \sum_i\mu(X_i)$. Pero $X_i = c_iX$, lo $\mu(X) = \sum_ic_i^d\mu(X)$. Ya hemos asumido que $\mu(X)$ era finito y distinto de cero, podemos dividir ambos lados por $\mu(X)$, y obtener un $1 = \sum_ic_i^d$.