¿Estos campos vectoriales abarcan una distribución integrable?

Question

Dejemos que $X_i$ , $1 \le 1 \le n$ sean campos vectoriales suaves en el conjunto abierto $U \subset \mathbb{R}^n$ que son linealmente independientes en cada punto. Establezca $[X_i, X_j] = \sum_{k=1}^n c_{ij}^kX_k$ . Supongamos que los coeficientes $c_{ij}^k$ son todos constante .

Dejemos que $\overline{X}_i$ , $1 \le i \le n$ , en $\overline{U} \subset \mathbb{R}^n$ sea otra copia (con los mismos coeficientes). Establezca $Y_i = X_i + \overline{X}_i$ , $1 \le i \le n$ , en $U \times \overline{U}$ . Mi pregunta es si los campos vectoriales $Y_i$ necesariamente abarcan una distribución integrable $E \subseteq T(U \times \overline{U})$ ?

Answer 1

Un dato útil : Dejemos que $X,Y,$ sean campos vectoriales en $U$ y definir campos vectoriales en $U\times U$ por $\overline{X}=(X,0),\quad \overline{Y}=(0,Y).$ Desde $\overline{X}$ depende sólo de la primera coordenada y $\overline{Y}$ depende sólo del segundo, tenemos por definición $$\mathcal{L}_XY=0,$$ En otras palabras $$[X,Y]=0.$$ Y a la pregunta: Tenemos $$[Y_i,Y_j]=[X_i+\overline{X}_i,X_j+\overline{X}_j]=[X_i,X_j]+[\overline{X}_i,\overline{X}_j],$$ donde la última igualdad se deduce del hecho anterior. Ahora $$[X_i,X_j]+[\overline{X}_i,\overline{X}_j]=\sum c_{ij}^kX_k+\sum c_{ij}^k\overline{X}_k=\sum c_{ij}^kY_k,$$ y, por tanto, la respuesta a la pregunta es positiva.

Answer 2

Los campos vectoriales $Y_i$ abarcan necesariamente una distribución integrable $E \subseteq T(U \times \overline{U})$ . $E$ es necesariamente un subfondo suave de $T(U \times \overline{U})$ por lo que basta con mostrar $E$ es cerrado bajo el soporte de Lie. Nótese que $[X_i, \overline{X}_j] = 0$ por cada $i$ , $j$ porque $X_i$ sólo se diferencia con respecto a la primera $n$ variables y $\overline{X}_j$ sólo se diferencia con respecto al último $n$ variables. Esto significa que para cada $i$ , $j$ , $$[Y_i, Y_j] = [X_i + \overline{X}_i, X_j + \overline{X}_j] = [X_i, X_j] + [\overline{X}_i, \overline{X}_j] = \sum_k c_{ij}^k X_k + \sum_k c_{ij}^k \overline{X}_k = \sum_k c_{ij}^k Y_k.$$ Por lo tanto, el soporte de cualquier combinación lineal del $Y_i$ es de nuevo una combinación lineal del $Y_i$ Así que $[E, E] \subset E$ según sea necesario.