$7^{10}$ $51$ ¿qué resto?

Question

Cómo encontrar los restos de la División de $7^{10}$ $51$ el uso de la aritmética de residuos?

$$$$ $$7\equiv51\;\text{mod}11$$

Answer 1

Observe esto:

\begin{align} 7^2 &\equiv - 2 &\pmod{51} \\ 7^{10} &\equiv - 32 &\pmod{51} \\ 7^{10} &\equiv 19 &\pmod{51} \\ \end{align}

Así que esto significa que el resto será de 19.

Answer 2

$7^3=343=17\cdot20+3$, lo $7^3\equiv3\pmod{17}$, e $7^{10}\equiv3^3\cdot7\equiv27\cdot7\equiv10\cdot7\equiv2\pmod{17}$, ya que el $4\cdot17=68$. De curso $7^{10}\equiv1^{10}\equiv1\pmod3$. Por lo tanto, queremos un entero $n\in\{0,1,\dots,50\}$ tal que $n\equiv2\pmod{17}$ y $n\equiv1\pmod3$; $2+17=19$ claramente hace el truco.