Usted está haciendo de este un problema mucho más difícil de lo que debe ser porque el
variables aleatorias en cuestión son dos valores, y el problema puede ser
tratado como uno más de la independencia de eventos en lugar de la independencia de
variables aleatorias. En lo que sigue, voy a tratar de la independencia de
eventos aunque los acontecimientos se expresa en términos de variables aleatorias.
Deje $Z_0,Z_1,Z_2,\cdots$ ser independiente de las variables aleatorias $\ldots$
Voy a tomar esto como la afirmación de que el countably colección infinita de eventos $A_i = \{Z_i = +1\}$ es una colección de eventos independientes. Ahora, un contable de la colección de eventos se dice que es una colección de
eventos independientes si cada finito subconjunto (de cardinalidad $2$ o
más) es una colección de eventos independientes. Recordemos que
$n\geq 2$ eventos $B_0, B_1, \cdots, B_{n-1}$ se dice que son eventos independientes
si
$$P(B_0\cap B_1\cap \cdots \cap B_{n-1})
= P(B_0)P(B_1) \cdots P(B_{n-1})$$
y cada subconjunto finito de dos o más de estos eventos es una
colección de eventos independientes. Alternativamente,
$B_0, B_1, \cdots, B_{n-1}$ se dice que son eventos independientes
si el siguiente $2^n$ ecuaciones de espera:
$$P(B_0^*\cap B_1^*\cap \cdots \cap B_{n-1}^*)
= P(B_0^*)P(B_1^*)\cdots P(B_{n-1}^*)\etiqueta{1}$$
Tenga en cuenta que en $(1)$, $B_i^*$ destaca por $B_i$ o $B_i^c$
(igual en ambos lados de $(1)$) y el $2^n$ opciones
($B_i$ o $B_i^c$) nos dan la $2^n$ ecuaciones.
Para nuestra aplicación, $A_i = \{Z_i = +1\}$$A_i^c = \{Z_i=-1\}$,
y así la comprobación de si el $2^n$ ecuaciones
$$P(A_0^*\cap A_1^*\cap \cdots \cap A_{n-1}^*)
= P(A_0^*)P(A_1^*)\cdots P(A_{n-1}^*)\etiqueta{2}$$
mantener o no, es equivalente a la comprobación de que el
conjunta de la función de masa de probabilidad (fmp) de $Z_0, Z_1, \cdots, Z_{n-1}$
los factores en el producto de la $n$ marginal de la fmp en cada uno y
cada uno de los puntos de $(\pm 1, \pm 1, \cdots, \pm 1)$ que es
lo que usted haría si usted nunca había oído hablar de independiente
eventos, solo se trata de variables aleatorias independientes.
Por lo tanto, la declaración de
Deje $Z_0,Z_1,Z_2,\cdots$ ser independiente de las variables aleatorias $\ldots$
significa, entre otras cosas, que el $Z_0,Z_1,Z_2,\cdots, Z_{n-1}$
es un conjunto finito de variables aleatorias independientes. Pero,
hace la afirmación
Para todos $n \geq 2$, $\{Z_0,Z_1,Z_2,\cdots, Z_{n-1}\}$ es un conjunto
de $n$ independiente de variables aleatorias
implica que el
countably conjunto infinito $\{Z_0,Z_1,Z_2,\cdots \}$ es un
colección de variables aleatorias independientes?
La respuesta es Sí, porque ya sabemos hipótesis
que algunos específicos finito
los subconjuntos de a $\{Z_0,Z_1,Z_2,\cdots \}$ son independientes al azar
variables, mientras que cualquier otro subconjunto finito, decir $\{Z_2, Z_5, Z_{313}\}$,
es un subconjunto de a $\{Z_0, Z_1, \cdots, Z_{313}\}$ que son independientes
por la hipótesis y para el subconjunto es también un conjunto de independiente
variables aleatorias.
En su pregunta, con cada una de las $a_i \in \{+1, -1\}$ y
la definición de $b_i = \prod_{j=0}^i a_j$ que también está en el $\{+1,-1\}$,
\begin{align}
P(X_0 = a_0, X_1 = a_1, \cdots, X_n = a_n)
&= P(Z_0 = a_0, Z_1 = a_0a_1, Z_2 = a_0a_1a_2, \cdots, Z_n = a_0a_1...a_n)\\
&= P(Z_0=b_0, Z_1 = b_1, \cdots, Z_n = b_n)\\
&= \prod_{i=0}^n P(Z_i = b_i)\\
&= 2^{-(n+1)}\\
&= \prod_{i=0}^n P(X_i = a_i),
\end{align}
es decir, todos los $2^{n+1}$ ecuaciones de la forma $(2)$ mantener.
Por lo tanto, para cada $n \geq 1$, $X_0, X_1, \cdots, X_n$ son
independiente de las variables aleatorias, y por lo tanto la
countably colección infinita $\{X_0, X_1, \cdots\}$
de variables aleatorias es una colección de independiente
variables aleatorias.
Después de leer por encima de mi revisado respuesta, tal vez sea yo que se
el problema mucho más difícil de lo necesario. Mis disculpas.
