Tiempo que se tarda en llegar de un punto a otro en refracción

Question

Según el principio de Fermat, el camino recorrido entre dos puntos por un rayo de luz es el que puede recorrerse en el menor tiempo.

Supongamos que la fuente de luz es un punto $(x_1, y_1)$ y la velocidad de la luz en este medio es $v_1$ mientras que el otro punto (destino) en el medio adyacente sea $(x_2, y_2)$ y la velocidad de la luz en el medio sea $v_2$ . Se da la circunstancia de que $y_1 < 0$ y $y_2 > 0$ tal que $y = 0$ es la interfaz entre los dos medios.

Minimizando la función temporal obtenemos la ley de Snell: $\displaystyle{\frac{v_1}{\sin \theta_1} = \frac{v_2}{\sin \theta_2}}$ . Pero quería saber el valor minimizado del tiempo que se tarda en llegar desde $(x_1 , y_1)$ a $(x_2 , y_2)$ . Si el punto de incidencia en la interfase de los dos medios es $(x , 0)$ entonces

$$T(x) = \frac{\sqrt{(x - x_1)^2 + y_1^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{(x - x_2)^2 + y_2^2}}{v_2}$$

donde $x_1 , y_1, x_2, y_2, v_1, v_2$ son constantes.

He diferenciado $T(x)$ con respecto a $x$ es decir

$$\frac{dT}{dx} = \frac{x- x_1}{v_1 \sqrt{(x - x_1)^2 + y_1^2}} + \frac{x- x_2}{v_2 \sqrt{(x - x_2)^2 + y_2^2}} = 0$$

Pero no pude encontrar $x$ de la ecuación anterior y sustituirla por $T(x)$ para encontrar su valor mínimo.

Answer 1

Una posible solución desde el punto de vista de la programación informática sería utilizar un búsqueda ternaria de la gama $left = min(x_1,x_2)$ a $right = max(x_1, x_2)$ ya que la función temporal disminuye y luego aumenta, por lo que podríamos determinar los mínimos.
Creo que una solución matemática sería rigurosa pero si alguien quiere contribuir será muy útil ya que no fui capaz de encontrar la respuesta en un gran número de recursos que consulté.

Answer 2

Si trasladamos las expresiones con las raíces cuadradas en el denominador a lados opuestos de la ecuación y elevamos ambos lados al cuadrado, veremos que obtenemos una ecuación cuártica para x. Para las ecuaciones cuárticas existen fórmulas para las soluciones que, sin embargo, son bastante engorrosas. Por lo tanto, primero hay que comprobar, haciendo álgebra, si la ecuación cuártica resultante puede transformarse realmente en una ecuación bicuadrática para poder utilizar las expresiones sencillas para las soluciones de una ecuación cuadrática.